 |
A C. 1036. feladat (2010. május) |
C. 1036. Hány olyan 11-gyel osztható 9-jegyű szám van a tízes számrendszerben, amelyben a nulla kivételével minden számjegy előfordul?
(5 pont)
A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel a 0-n kívül összesen 9 számjegyet használunk fel a 9 jegyű számhoz, ezért minden számjegy pontosan egyszer szerepel benne. A keresett számok 11-gyel oszthatóak, tehát az oszthatósági szabály szerint a páratlan helyeken álló számjegyek összegének és a páros helyeken álló számjegyek összegének különbsége osztható 11-gyel. Legyen a szám
\(\displaystyle \overline{abcdefghi}\)
alakú: \(\displaystyle 11\mid (a+c+e+g+i)-(b+d+f+h)\). A legnagyobb különbség \(\displaystyle (9+8+7+6+5)-(4+3+2+1)=25\), a legkisebb \(\displaystyle (1+2+3+4+5)-(6+7+8+9)=-15\). A számjegyek összege 45, (így a páratlan helyeken álló számjegyek összege pont 45 és a különbség összegének fele) tehát a különbség nem lehet páros: csak 11 vagy -11 lehet. Ha a különbség 11, akkor az ötös csoportbeli számok összege 28. Keressük azon öt különböző számjegyet, melyek összege 28: (9 8 7 3 1), (9 8 6 4 1), (9 8 6 3 2), (9 8 5 4 2), (9 7 6 5 1), (9 7 6 4 2), (9 7 5 4 3), (8 7 6 5 2), (8 7 6 4 3). Ha a különbség -11, akkor kereshetjük azon 4 számjegyet, melyek összege 28: (9 8 7 4) és (9 8 6 5). Mivel a számjegyek különbözők és egyik sem 0, ezért a csoporton belül bármilyen sorrendben követhetik egymást: a páratlan helyeken álló 5 számjegyből álló csoport 5!, a páros helyeken álló csoport 4 tagjának összesen 4! különböző sorrendje van. A 9 számjegy két részre osztásakor tehát \(\displaystyle 5! \cdot 4!\) különböző számot kapunk, melyek egy jó kettéosztás esetén mind oszthatóak 11-gyel. Összesen 9+2=11 jó kettéosztása volt a számjegyeknek, tehát \(\displaystyle 11\cdot 5! \cdot 4!=31\ 680\) darab olyan 11-gyel osztható 9-jegyű szám van, amiben a nulla kivételével minden számjegy előfordul.
Statisztika:
113 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 57 versenyző. 4 pontot kapott: 18 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai