A C. 1037. feladat (2010. május)

C. 1037. Egy félkör köré írt egyenlőszárú háromszög alapja az átmérő egyenesére esik, szárai pedig érintik a félkört. Az ilyen háromszögek közül melyiknek legkisebb a területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Az egyenlőszárú háromszög magasságvonala a háromszöget olyan derékszögű háromszögekre osztja, melyek átfogói az eredeti háromszög szárai (\(\displaystyle b\) hosszúak), az átfogóhoz tartozó magasság nagysága pedig a félkör sugara (\(\displaystyle r\)). Ha a szárszöget \(\displaystyle 2\alpha\)-val jelöljük, akkor \(\displaystyle r=b\cdot \cos\alpha \cdot \sin\alpha\), az eredeti háromszög területe \(\displaystyle br=\frac{r^2}{\cos\alpha \cdot \sin\alpha}=\frac{4r^2}{\sin 2\alpha}\). Ennek a törtnek az értéke akkor a legkisebb, ha a nevezőjének az értéke a legnagyobb, tekintve, hogy a félkör sugara \(\displaystyle r\) adott (állandó). Tehát \(\displaystyle \sin 2\alpha=1\), ami pontosan akkor teljesül (figyelembe véve, hogy \(\displaystyle 0^\circ<2\alpha<180^\circ\)), ha \(\displaystyle 2\alpha=90^\circ\), azaz a háromszög (egyenlőszárú) derékszögű háromszög.

2. megoldás. A szárat ossza a félkör érintési pontja \(\displaystyle b_1\) és \(\displaystyle b_2\) hosszúságú darabokra, a félkör sugara legyen \(\displaystyle r\). A magasságtétel szerint ekkor \(\displaystyle \sqrt{b_1\cdot b_2}=r\). Az egyenlőszárú háromszög területét a két derékszögű háromszög területéből számolva \(\displaystyle t=2\cdot 1/2\cdot (b_1 + b_2)r=(b_1 + b_2)r\), melynek legkisebb lehetséges értékét keressük. Számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle t=(b_1 + b_2)r\ge 2\sqrt{b_1\cdot b_2}\cdot r=2r^2\), tehát a terület \(\displaystyle 2r^2\)-nél nem lehet kisebb. Ilyen legkisebb területű egyenlőszárú háromszög elő is állítható: az egyenlőség feltételeként adódó \(\displaystyle b_1=b_2=r\)-ből. Ebben az esetben az \(\displaystyle r\) -befogóhoz tartozó - magasságú derékszögű háromszög szintén egyenlőszárú, azaz alapján fekvő szögei \(\displaystyle 45^\circ\)-osak, tehát az eredeti egyenlőszárű háromszög is derékszögű.

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	76 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai