A C. 1037. feladat (2010. május)

C. 1037. Egy félkör köré írt egyenlőszárú háromszög alapja az átmérő egyenesére esik, szárai pedig érintik a félkört. Az ilyen háromszögek közül melyiknek legkisebb a területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Az egyenlőszárú háromszög magasságvonala a háromszöget olyan derékszögű háromszögekre osztja, melyek átfogói az eredeti háromszög szárai ($\displaystyle b$ hosszúak), az átfogóhoz tartozó magasság nagysága pedig a félkör sugara ($\displaystyle r$). Ha a szárszöget $\displaystyle 2\alpha$-val jelöljük, akkor $\displaystyle r=b\cdot \cos\alpha \cdot \sin\alpha$, az eredeti háromszög területe $\displaystyle br=\frac{r^2}{\cos\alpha \cdot \sin\alpha}=\frac{4r^2}{\sin 2\alpha}$. Ennek a törtnek az értéke akkor a legkisebb, ha a nevezőjének az értéke a legnagyobb, tekintve, hogy a félkör sugara $\displaystyle r$ adott (állandó). Tehát $\displaystyle \sin 2\alpha=1$, ami pontosan akkor teljesül (figyelembe véve, hogy $\displaystyle 0^\circ<2\alpha<180^\circ$), ha $\displaystyle 2\alpha=90^\circ$, azaz a háromszög (egyenlőszárú) derékszögű háromszög.

2. megoldás. A szárat ossza a félkör érintési pontja $\displaystyle b_1$ és $\displaystyle b_2$ hosszúságú darabokra, a félkör sugara legyen $\displaystyle r$. A magasságtétel szerint ekkor $\displaystyle \sqrt{b_1\cdot b_2}=r$. Az egyenlőszárú háromszög területét a két derékszögű háromszög területéből számolva $\displaystyle t=2\cdot 1/2\cdot (b_1 + b_2)r=(b_1 + b_2)r$, melynek legkisebb lehetséges értékét keressük. Számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint $\displaystyle t=(b_1 + b_2)r\ge 2\sqrt{b_1\cdot b_2}\cdot r=2r^2$, tehát a terület $\displaystyle 2r^2$-nél nem lehet kisebb. Ilyen legkisebb területű egyenlőszárú háromszög elő is állítható: az egyenlőség feltételeként adódó $\displaystyle b_1=b_2=r$-ből. Ebben az esetben az $\displaystyle r$ -befogóhoz tartozó - magasságú derékszögű háromszög szintén egyenlőszárú, azaz alapján fekvő szögei $\displaystyle 45^\circ$-osak, tehát az eredeti egyenlőszárű háromszög is derékszögű.

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	76 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai