A C. 1039. feladat (2010. május)

C. 1039. Egy gömb belsejében négy egységsugarú gömb úgy helyezkedik el, hogy mindegyikük érinti ezt a gömböt és a másik három egységsugarú gömböt is. A nagyobb gömb térfogatának hányad részét tölti ki együttvéve a négy egységsugarú gömb?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a nagy gömb középpontja $\displaystyle O$, a kis gömböké $\displaystyle O_1$, $\displaystyle O_2$, $\displaystyle O_3$, $\displaystyle O_4$. A négy középpont egy szabályos tetraéder négy csúcsa (1. ábra). A tetraéder köré gömb írható és nyilván ezen gömb középpontja egybeesik a nagy gömb $\displaystyle O$ középpontjával.

Jelöljük a tetraéder köré írt gömb sugarát $\displaystyle r$-rel, a nagy gömb sugarát $\displaystyle R$-rel. Tekintsük a tetraéder $\displaystyle O_1O_2O_3$ háromszögét alapnak (2. ábra). A háromszög oldalainak hossza 2 egység. Az $\displaystyle O_4$ csúcs merőleges vetülete az alapra $\displaystyle P$. A tetraéder köré írt gömb $\displaystyle O$ középpontja illeszkedik az $\displaystyle O_4P$ szakaszra.

Az $\displaystyle O_2PO_4$ derékszögű háromszögben $\displaystyle O_4O_2=2$,

$\displaystyle PO_2=\frac 23\cdot \frac{2\sqrt{3}}{2}= \frac{2\sqrt{3}}{3},$

mivel $\displaystyle O_2P$ a 2 egység oldalú szabályos háromszögben súlyvonal (és egyben magasságvonal) kétharmada. Az $\displaystyle O_2PO_4$ háromszögben felírhatjuk a Pitagorasz-tételt a tetraéder $\displaystyle O_4P$ magasságára:

$\displaystyle O_4P^2= O_4O_2^2- PO_2^2, \quad{\rm azaz}\quad O_4P= \sqrt{2^2- \bigg(\frac{2\sqrt{3}}3\,\bigg)^{\!\!2}}= \sqrt{\frac 83}= \frac{2\sqrt{6}}3.$

Az $\displaystyle OPO_2$ háromszögre is írjuk fel a Pitagorasz-tételt az $\displaystyle OO_2=r$,

$\displaystyle OP=\frac{2\sqrt{6}}{3}-r$, és $\displaystyle PO_2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ oldalakra:

$\displaystyle r^2= \bigg(\frac{2\sqrt{6}}3- r\bigg)^{\!\!2}+ \bigg(\frac{2\sqrt{3}}3\,\bigg)^{\!\!2},$

innen $\displaystyle r=\frac{\sqrt{6}}2$. A nagy gömb sugara pedig

$\displaystyle R=r+1=\frac{\sqrt{6}}2+1= \frac{\sqrt{6}+2}2.$

A nagy gömb térfogata:

$\displaystyle V_1=\frac 43 \pi \bigg(\frac{\sqrt{6}+2}2\bigg)^{\!\!3}.$

A négy, egységsugarú gömb együttes térfogata:

$\displaystyle V_2=4 \cdot\frac{4\pi}3 \cdot 1^3= \frac{16\pi}3.$

A térfogatok aránya:

$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}= \frac{\frac{16\pi}3}{\frac{4\pi}3 \left(\frac{\sqrt{6}+2}2\right)^{\!3}}= \frac 4{\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)^3}8}= \frac{32}{\big(\sqrt{6}+2\big)^3}\approx 0{,}36.$

Najbauer Eszter (Pécs, Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimn., 12. évf.)

Statisztika:

101 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	61 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai