A C. 1046. feladat (2010. október)

C. 1046. Jelölje (n) egy szabályos n-szög belső szögeinek nagyságát. Mekkora az n, ha (n+3)-(n)=(n)-(n-2)?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle \alpha(n)= (n-2)\cdot \frac{180^\circ}{n}$, ezért a feltételt í­gy írhatjuk fel ($\displaystyle n\ge 3$):

$\displaystyle (n+1)\cdot \frac{180^\circ}{n+3}-(n-2)\cdot \frac{180^\circ}{n}=(n-2)\cdot \frac{180^\circ}{n}-(n-4)\cdot \frac{180^\circ}{n-2}.$

$\displaystyle 180^\circ$-kal való egyszerűsí­tés és rendezés után $\displaystyle \displaystyle{\frac{n+1}{n+3}+\frac{n-4}{n-2}=\frac{2(n-2)}{n}}$, majd $\displaystyle n(n^2-n-2+n^2-n-12)=2(n-2)(n^2+n-6)$, amiből $\displaystyle -14n=-16n+24$, ahonnan $\displaystyle n=12$.

Statisztika:

326 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	277 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai