A C. 1047. feladat (2010. október)

C. 1047. Egy szabályos pénzérmét tízszer egymás után feldobunk. Ha fejet dobtunk, 2-est, ha írást, akkor 3-ast írunk sorban egymás mellé. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kapott tízjegyű szám osztható

a) 3-mal,

b) 4-gyel?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A felírható összes szám száma \(\displaystyle 2^{10}=1024\).

\(\displaystyle a)\) A kapott szám osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal. Mivel a szám 2-es és 3-as számjegyekből áll, ezért aszámjegyek összege pontosan akkor lesz 3-mal osztható, ha a 2-esek száma 3-mal osztható, azaz 9, 6, 3, 0 db 2-es van benne. Felhasználva azt, hogy ha egy 10-jegyű számban \(\displaystyle n\) db 2-es és \(\displaystyle 10-n\) db 3-as van, akkor a különböző 10-jegyű számok száma \(\displaystyle \frac{10!}{n!\cdot (10-n)!}\), a 3-mal osztható számok száma \(\displaystyle 10+210+120+1=341\). Ezért annak a valószínűsége, hogy 3-mal osztható számot kapunk \(\displaystyle \frac{341}{1024}\approx 0,333\).

\(\displaystyle b)\) Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel. A rendelkezésünkre álló számjegyekkel ez a végződés \(\displaystyle 22\), \(\displaystyle 23\), \(\displaystyle 32\) vagy \(\displaystyle 33\) lehet. Ezek küzöl csak a \(\displaystyle 32\) jó. Mivel \(\displaystyle 2^8=256\) különböző tízjegyű szám végződik \(\displaystyle 32\)-re, azaz pont a számok negyede, ezért annak a valószínűsége, hogy a kapott szám 4-gyel osztható \(\displaystyle \frac 14\).

Statisztika:

394 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	203 versenyző.
4 pontot kapott:	95 versenyző.
3 pontot kapott:	51 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai