A C. 1049. feladat (2010. október)

C. 1049. Egy 2 egység oldalú négyzet két szomszédos oldala mint átmérő fölé köröket rajzolunk. Mekkora annak a körnek a sugara, amely a négyzet oldalát és az egyik kört belülről, a másik kört kívülről érinti?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egységkörök középpontjai legyenek \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), az érintő kör középpontja \(\displaystyle C\), továbbá állítsunk merőlegest mindkét négyzetoldalra \(\displaystyle C\)-ből: a talppontok legyenek \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\) az ábra szerint. A beírt kör sugara legyen \(\displaystyle r\), \(\displaystyle KA=x\). Az \(\displaystyle ACK\triangle\) és a \(\displaystyle BCL\triangle\) derékszögűek, Pithagorasz tételét felírva mindkét háromszögben \(\displaystyle (1-r)^2=r^2+x^2\) és \(\displaystyle (1+r)^2=(1-r)^2+(1+x)^2\). Az elsőből \(\displaystyle x^2=1-2r\), amit a másodikba helyettesítve rendezés után \(\displaystyle 1-2r+2x+1=4r\), azaz \(\displaystyle x=3r-1\). Az első egyenletből pedig \(\displaystyle x^2=1-2r=9r^2-6r+1\), ahonnan \(\displaystyle 9r^2-4r=0\). Mivel \(\displaystyle r>0\), ezért kapjuk, hogy a beírt kör sugara \(\displaystyle \frac 49\).

Statisztika:

173 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	106 versenyző.
4 pontot kapott:	32 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai