A C. 1049. feladat (2010. október)

C. 1049. Egy 2 egység oldalú négyzet két szomszédos oldala mint átmérő fölé köröket rajzolunk. Mekkora annak a körnek a sugara, amely a négyzet oldalát és az egyik kört belülről, a másik kört kívülről érinti?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egységkörök középpontjai legyenek $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$, az érintő kör középpontja $\displaystyle C$, továbbá állítsunk merőlegest mindkét négyzetoldalra $\displaystyle C$-ből: a talppontok legyenek $\displaystyle K$ és $\displaystyle L$ az ábra szerint. A beírt kör sugara legyen $\displaystyle r$, $\displaystyle KA=x$. Az $\displaystyle ACK\triangle$ és a $\displaystyle BCL\triangle$ derékszögűek, Pithagorasz tételét felírva mindkét háromszögben $\displaystyle (1-r)^2=r^2+x^2$ és $\displaystyle (1+r)^2=(1-r)^2+(1+x)^2$. Az elsőből $\displaystyle x^2=1-2r$, amit a másodikba helyettesítve rendezés után $\displaystyle 1-2r+2x+1=4r$, azaz $\displaystyle x=3r-1$. Az első egyenletből pedig $\displaystyle x^2=1-2r=9r^2-6r+1$, ahonnan $\displaystyle 9r^2-4r=0$. Mivel $\displaystyle r>0$, ezért kapjuk, hogy a beírt kör sugara $\displaystyle \frac 49$.

Statisztika:

173 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	106 versenyző.
4 pontot kapott:	32 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai