A C. 1053. feladat (2010. november)

C. 1053. Mutassuk meg, hogy a

(2n-1)²ⁿ⁺¹+(2n+1)^2n-1

összeg osztható 4-gyel.

Holló Gábor (Budapest) ötletéből

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Vizsgáljuk meg a tagok maradékát 4-gyel osztva $\displaystyle n$ paritása szerint. Ha $\displaystyle n=2k$ (páros), akkor az első tag $\displaystyle (4k-1)^{4k+1}$ alakú, mely 4-gyel osztva $\displaystyle (-1)^{4k+1}=-1$ maradékot ad. A második tag $\displaystyle (4k+1)^{4k-1}$ alakú, mely 4-gyel osztva $\displaystyle 1^{4k-1}=1$ maradékot ad, így összegük 0 maradékot ad 4-gyel osztva, tehát osztható 4-gyel. Ha páratlan, azaz $\displaystyle n=2l+1$, akkor az első tag $\displaystyle (4l+1)^{4l+3}$, ami 2 maradékot ad 4-gyel osztva, míg a második tag $\displaystyle (4l+3)^{4l+1}$, ami -1 maradékot ad. Tehát ebben az esetben is igaz, hogy az összeg osztható 4-gyel.

2. megoldás. $\displaystyle (2n-1)^{2n+1}+(2n+1)^{2n-1}=(2n-1)^2 \cdot (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}=(4n^2 + 4n)(2n-1)^{2n-1} + (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}$ összegben az első tag osztható 4-gyel, mert $\displaystyle 4n^2+4n=4n(n+1)$ osztható 4-gyel. A második két tag összege $\displaystyle a^{2k+1}+b^{2k+1}$ alakú, amiből $\displaystyle (a+b)$ ``kiemelhető'', azaz használva az $\displaystyle (a+b)(a^{2k}-ba^{2k-1}+b^2 a^{2k-2}-+\dots -b^{2k-1 a + b^{2k}})$ azonosságot $\displaystyle (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}$ osztható $\displaystyle (2n-1)+(2n+1)=4n$-nel, ami osztható 4-gyel.

Statisztika:

228 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	72 versenyző.
4 pontot kapott:	62 versenyző.
3 pontot kapott:	33 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai