A C. 1053. feladat (2010. november)

C. 1053. Mutassuk meg, hogy a

(2n-1)²ⁿ⁺¹+(2n+1)^2n-1

összeg osztható 4-gyel.

Holló Gábor (Budapest) ötletéből

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Vizsgáljuk meg a tagok maradékát 4-gyel osztva \(\displaystyle n\) paritása szerint. Ha \(\displaystyle n=2k\) (páros), akkor az első tag \(\displaystyle (4k-1)^{4k+1}\) alakú, mely 4-gyel osztva \(\displaystyle (-1)^{4k+1}=-1\) maradékot ad. A második tag \(\displaystyle (4k+1)^{4k-1}\) alakú, mely 4-gyel osztva \(\displaystyle 1^{4k-1}=1\) maradékot ad, így összegük 0 maradékot ad 4-gyel osztva, tehát osztható 4-gyel. Ha páratlan, azaz \(\displaystyle n=2l+1\), akkor az első tag \(\displaystyle (4l+1)^{4l+3}\), ami 2 maradékot ad 4-gyel osztva, míg a második tag \(\displaystyle (4l+3)^{4l+1}\), ami -1 maradékot ad. Tehát ebben az esetben is igaz, hogy az összeg osztható 4-gyel.

2. megoldás. \(\displaystyle (2n-1)^{2n+1}+(2n+1)^{2n-1}=(2n-1)^2 \cdot (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}=(4n^2 + 4n)(2n-1)^{2n-1} + (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}\) összegben az első tag osztható 4-gyel, mert \(\displaystyle 4n^2+4n=4n(n+1)\) osztható 4-gyel. A második két tag összege \(\displaystyle a^{2k+1}+b^{2k+1}\) alakú, amiből \(\displaystyle (a+b)\) ``kiemelhető'', azaz használva az \(\displaystyle (a+b)(a^{2k}-ba^{2k-1}+b^2 a^{2k-2}-+\dots -b^{2k-1 a + b^{2k}})\) azonosságot \(\displaystyle (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}\) osztható \(\displaystyle (2n-1)+(2n+1)=4n\)-nel, ami osztható 4-gyel.

Statisztika:

228 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	72 versenyző.
4 pontot kapott:	62 versenyző.
3 pontot kapott:	33 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai