A C. 1055. feladat (2010. december)

C. 1055. Hány olyan alakú nyolcjegyű szám van, amely osztható 18 769-cel?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle \displaystyle{\overline{abcdabcd}=10\ 001\cdot \overline{abcd}=k\cdot 18\ 769}$ a feltétel szerint. $\displaystyle 10\ 001=73\cdot 137$ és $\displaystyle 18\ 769=137^2$ miatt $\displaystyle \displaystyle{73\cdot \overline{abcd}=k\cdot 137}$-t vizsgáljuk. $\displaystyle \displaystyle{\overline{abcd}}$ osztható 137-tel: $\displaystyle \displaystyle{\overline{abcd}=137\cdot l}$ (így $\displaystyle k=73l$). $\displaystyle 1000\le \displaystyle{\overline{abcd}=137\cdot l}\le 9999$ szerint $\displaystyle 8\le l\le 72$. Ha $\displaystyle l$ 7 és 73 közötti egész szám, akkor a számolásunk szerint $\displaystyle \displaystyle{\overline{abcd}}$ négyjegyű szám, ami osztható 137-tel, továbbá a belőle képzett nyolcjegyű szám a megfelelő alakú, és osztható $\displaystyle 10\ 001\cdot 137=1\ 370\ 137=73\cdot 18\ 769$-cel, ami osztható 18 769-cel. Tehát 65 megfelelő számot találtunk.

Statisztika:

243 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	107 versenyző.
4 pontot kapott:	69 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	22 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai