A C. 1057. feladat (2010. december)

C. 1057. Piros, fehér és zöld színnel jelöltünk meg néhány pontot a síkon, amelyek közül semelyik három nincs egy egyenesen. A különböző színű pontpárokat összekötő egyenesek száma 213, az azonos színű párokat összekötőké 112. Hány pontot jelöltünk meg?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. A megjelölt pontok közül semelyik három nincs egy egyenesen, ezért - ha összesen $\displaystyle N$ pontot színeztünk ki - összesen $\displaystyle N(N-1)/2$ egyenest határoznak meg. Egy egyenes vagy két azonos színű pontot, vagy két különböző színű pontot köt össze, a feladat szerint összesen $\displaystyle 112+213=325$ összekötő egyenes van. Tehát $\displaystyle N^2-N-650=0$, melynek gyökei a -25 és a 26. Tekintve, hogy $\displaystyle N>0$, 26 pontot jelöltünk meg.

2. megoldás. A jelölt pontok száma legyen a színek szerint $\displaystyle p$, $\displaystyle f$, $\displaystyle z$, összesen $\displaystyle p+f+z=N$. A különböző színű pontokra illeszkedő egyenesek száma $\displaystyle pf+pz+fz=216$, az azonos színűekre illeszkedő $\displaystyle p(p-1)/2+f(f-1)/2+z(z-1)/2=112$. Ez utóbbi átrendezés után írható úgy is, hogy $\displaystyle p^2+f^2+z^2-N=224$. Mivel $\displaystyle N^2=p^2+f^2+z^2+2pf+2pz+2fz$, ezért $\displaystyle N^2=224+N+2\cdot 213$. Ismét megoldandó az $\displaystyle N^2-N-650=0$, melynek gyökei a -25 és a 26. Tekintve, hogy $\displaystyle N>0$, 26 pontot jelöltünk meg.

Statisztika:

238 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	142 versenyző.
4 pontot kapott:	60 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai