A C. 1058. feladat (2010. december)

C. 1058. Egy háromszög két csúcsa rögzített, a harmadik pedig úgy mozog, hogy az oldalak négyzetösszege egyenlő a háromszög területének 8-szorosával. Milyen görbén mozog a harmadik csúcs?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Helyezzük el egy derékszögű koordinátarendszerbe a háromszöget úgy, hogy rögzített \(\displaystyle A\) csúcsa az origó, rögzített \(\displaystyle B\) csúcsa az \(\displaystyle x\)-tengelyen \(\displaystyle (c,0)\) pontban legyen. A keresett \(\displaystyle c\) csúcs koordinátái \(\displaystyle (x, y)\). A koordinátákkal felírjuk az oldalak négyzetösszegét: \(\displaystyle (x^2+y^2)+((c-x)^2+y^2)+c^2\). Az \(\displaystyle AB\) oldalhoz tartozó magasság \(\displaystyle y\), ezért a háromszög területe \(\displaystyle \frac 12 cy\). A feladat szerint \(\displaystyle (x^2+y^2)+((c-x)^2+y^2)+c^2=\frac 82 cy\), amit rendezve \(\displaystyle x^2+y^2+c^2-cx-2cy=0\)-t kapunk. Ez egy kör egyenlete, mert felírható \(\displaystyle (x-\frac c2)^2+(y-c)^2=\frac{c^2}{4}\) alakba, ami egy \(\displaystyle O(\frac c2 , c)\) középpontú, \(\displaystyle \frac c2\) sugarú kör egyenlete. Tehát ha a feladat feltételeit teljesíti az \(\displaystyle ABC\triangle\), akkor \(\displaystyle C\) csúcs biztosan ezen a körön van. Másrészről a kör minden pontja lehet a háromszög harmadik csúcsa mert teljesíti a feladat kritériumát a számolás szerint, és a kör nem teszti az \(\displaystyle x\)-tengelyt, tehát a kör bármely pontja, \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) biztosan háromszöget alkotnak.

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balázsi Tamás, Bánhegyi Eliza, Böröczky Dezső, Csordás Gábor, Fonyó Viktória, Gehér Péter, Gyurcsik Dóra, Heimann Gergő, Jéhn Zoltán, Kasó Márton, Kelemen Bendegúz, Leitereg András, Márki Gabriella, Martinka Mátyás, Medveczky Zsófia, Nagy Zsuzsika, Nánási József, Németh Klára Anna, Papp Géza, Pataki Bálint Ármin, Sagmeister Ádám, Samu Viktor, Szabó 928 Attila, Tamás Ádám, Temesvári Fanni, Trócsányi Péter, Varga 149 Imre Károly, Végh Dávid András.
4 pontot kapott:	45 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai