 |
A C. 1059. feladat (2010. december) |
C. 1059. Egységnyi oldalú szabályos ötszög egy csúcsból kiinduló két átlóját berajzolva egy szabályos háromszög alapú gúla palástjának hálózatát kapjuk. Mekkora a gúla térfogata?
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A megoldás során használjuk az ábra jelöléseit. A szabályos ötszöglapból hajtogatható \(\displaystyle ABCD\) gúla alaplapja \(\displaystyle ABC\) háromszög, ami szabályos, egységnyi oldalú. A gúla oldaléleinek hossza \(\displaystyle CD=1\), továbbá \(\displaystyle AD=BD=x\), ahol \(\displaystyle x\) a szabályos ötszög átlójának hossza: \(\displaystyle x=2\sin 54^\circ=\frac{1+\sqrt 5}{2}\approx 1,618\). A gúla szimmetrikus a \(\displaystyle DC\) oldalélen átmenő, az alaplap síkjára merőleges síkra (mely az alaplapot és az \(\displaystyle ABD\) oldallapot is az \(\displaystyle AB\)-hez tartozó oldalfelező merőlegesekben metsz, melyek a magasságegyenesek is egyben). A gúla magassága tehát a \(\displaystyle CDF\) háromszög \(\displaystyle FC\)-hez tartozó magassága. Az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszögben \(\displaystyle FC=\frac{\sqrt 3}{2}\), a \(\displaystyle BDF\) derékszögű háromszögben pedig \(\displaystyle \mu^2=FD^2=x^2-\frac 12=\frac{5+2\sqrt{5}}{4}\). A \(\displaystyle CDF\triangle\)-ben a \(\displaystyle C\)-nél levő szög legyen \(\displaystyle \varphi\). Ekkor a koszinusz-tétel szerint \(\displaystyle \mu^2=\frac 34 + 1-2\cdot \frac{\sqrt3}{2} \cdot \cos \varphi\), ahonnan \(\displaystyle \cos\varphi=\frac{2-2\sqrt 5}{4\sqrt 3}\approx -0,356822\). Az \(\displaystyle FC\)-hez tartozó magasság \(\displaystyle m=1\cdot \sin\varphi=\sqrt{\frac{3+\sqrt 5}6}\approx 0,934172\). A gúla térfogata \(\displaystyle V=\frac 13 t_{ABC}\cdot m=\frac 13 \cdot \frac{\sqrt3}4\cdot\sqrt{\frac{3+\sqrt 5}6}=\frac{\sqrt{6+2\sqrt 5}}{24}=\frac{1+\sqrt 5}{24}\approx 0,1348\).
Statisztika:
157 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 70 versenyző. 4 pontot kapott: 27 versenyző. 3 pontot kapott: 24 versenyző. 2 pontot kapott: 20 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai