 |
A C. 1063. feladat (2011. január) |
C. 1063. Egy épület egyik oldala 20 méter oldalhosszúságú négyzet. A vízszintes talaj két pontjából megmértük a függőleges élek látószögeit. Ezek az egyik pontból 40o és 38o, a másik pontból 32o és 40o. Milyen távolságra van egymástól a két észlelési hely?
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Készítsünk ábrát. A két észlelési pontot jelöljük \(\displaystyle P_1\)-gyel és \(\displaystyle P_2\)-vel.
Az \(\displaystyle AP_1D\) háromszögben meg tudjuk határozni a \(\displaystyle b\)-vel jelölt szakasz hosszát: \(\displaystyle \tg 40^{\circ}=\frac{20}{b}\), amiből \(\displaystyle b=\frac{20}{\tg 40^{\circ}}\approx23,835.\) Ezzel a módszerrel sorra meghatározzuk az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) szakaszok hosszát.
A \(\displaystyle DAP_2\) háromszögben: \(\displaystyle a=\frac{20}{\tg 32^{\circ}}\approx32,001.\)
A \(\displaystyle CBP_2\) háromszögben: \(\displaystyle c=\frac{20}{\tg 40^{\circ}}\approx23,835.\)
A \(\displaystyle P_1BC\) háromszögben: \(\displaystyle d=\frac{20}{\tg 38^{\circ}}\approx25,599.\)
Ezután olyan háromszögeink keletkeznek, amelyeknek ismerjük mindhárom oldalát és az egyik szögüket szeretnénk kiszámolni. Erre koszinusz-tételeket használunk.
Az \(\displaystyle \alpha _1\)-gyel jelölt szöget az \(\displaystyle ABP_2\) háromszögben felírt koszinusz-tétellel kapjuk meg:
\(\displaystyle c^2=a^2+20^2-2a\cdot 20\cos \alpha _1,\)
\(\displaystyle \alpha _1\approx48,034^{\circ}.\)
Az \(\displaystyle \alpha _2\)-vel jelölt szöget az \(\displaystyle AP_1B\) háromszögben felírt koszinusz-tétellel kapjuk meg:
\(\displaystyle d^2=b^2+20^2-2 b\cdot 20 \cos \alpha _2,\)
amiből \(\displaystyle \alpha _2\approx70,847^{\circ}.\)
A két észlelési pont távolságát \(\displaystyle x\)-szel jelöltem. \(\displaystyle x\)-et is egy koszinusz-tétellel tudjuk kiszámolni, de előbb meg kell határoznunk az ábrán feketével jelölt szöget. A szög nagysága: \(\displaystyle \alpha _2-\alpha _1=22,813^{\circ}.\)
Most már meg tudjuk határozni \(\displaystyle x\)-et a \(\displaystyle P_1AP_2\) háromszögben felírt koszinusz-tétellel:
\(\displaystyle x^2=b^2+a^2-2b\cos 22,813^{\circ}.\)
Ebből \(\displaystyle x\)-re 13,639-et kapunk.
Tehát a két észlelési pont távolsága 13,639 méter.
Enyedi Péter (Szekszárd, Garay János Gimn., 11. o. t.)
Statisztika:
121 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 76 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 20 versenyző. 1 pontot kapott: 13 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2011. januári matematika feladatai