 |
A C. 1074. feladat (2011. március) |
C. 1074. Az egység élű kocka AB éle milyen messze van az EC testátlótól?
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Két kitérő egyenes távolsága nem más, mint a rájuk illeszkedő, egymással párhuzamos síkok távolsága. Ezt megkaphatjuk úgy, hogy az egyik síkra állítunk egy merőleges síkot, hogy a metszésvonaluk az adott egyenes legyen. Ez a merőleges sík a másik egyenest metszi (mert nem lehet párhuzamos vele). A metszésponton átmenő, az első egyenesre merőleges egyenes mindkét egyenesre és mindkét - a rájuk fektetett, egymással párhuzamos - síkra is merőleges: a metszéspontok által meghatározott szakasz hossza lesz a két egyenes távolsága.
Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle AB\) él \(\displaystyle M\) felezőpontja és a \(\displaystyle CE\) testátló \(\displaystyle N\) felezőpontja által meghatározott szakasz merőleges mind \(\displaystyle AB\)-re, mind \(\displaystyle CE\)-re, ezért ezen szakasz hossza lesz a keresett távolság. \(\displaystyle N\) a kocka középpontja, \(\displaystyle M\) tükörképe \(\displaystyle N\)-re pont a \(\displaystyle GH\) él felezőpontja, \(\displaystyle M'\). Mivel \(\displaystyle MM'GB\) paralelogramma (\(\displaystyle MB\) párhuzamos és egyenlő hosszú \(\displaystyle M'G\)-vel), ezért \(\displaystyle MN=\frac{\sqrt 2}{2}\). Mivel \(\displaystyle MN\) benne van az \(\displaystyle AB\) felező merőleges síkjában, ezért \(\displaystyle MN\) merőleges \(\displaystyle AB\)-re. Másrészről \(\displaystyle FC=\frac{\sqrt3}2\), mert a testátló fele, ezért Pithagorsz tétel megfordítását alkalmazva \(\displaystyle MN^2+FC^2=\frac12 + \frac34=\frac54\) és \(\displaystyle MC\), az \(\displaystyle MBC\) derékszögű háromszög átfogója, tehát (Pithagorasz tétellel) \(\displaystyle MC^2=MB^2+BC^2=\frac 14 + 1=\frac54\), azaz \(\displaystyle MN^2+FC^2=MC^2\): \(\displaystyle MN\) merőleges \(\displaystyle EC\)-re. A keresett távolság tehát \(\displaystyle MN=\frac{\sqrt 2}{2}\).
Statisztika:
133 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 88 versenyző. 4 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai