A C. 1077. feladat (2011. április)

C. 1077. Az ABC háromszögben az AC oldal C-hez közelebbi E negyedelő pontjára és a BC oldal F felező pontjára illeszkedő egyenes az AB egyenest D-ben metszi. Hány százaléka az ADE háromszög területe az ABC háromszög területének?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromszög $\displaystyle B$ csúcsából húzzunk párhuzamost az $\displaystyle AC$ oldallal: ez $\displaystyle G$-ben metszi $\displaystyle ED$-t. $\displaystyle FBG_\triangle \cong FCE_\triangle$, mert a párhuzamos oldalaik miatt hasonlóak és $\displaystyle F$ felezőpont miatt $\displaystyle CF=FB$ (azaz $\displaystyle F$-re középpontosan tükrösek), így $\displaystyle BG=EC=AC/4=x$ (és $\displaystyle AE=3x$). $\displaystyle ADE_\triangle \sim BDG_\triangle$ az egyállású szögeik miatt, így az oldalakra $\displaystyle \frac{x}{3x}=\frac{GB}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{y}{3y}$, azaz $\displaystyle AB=2y$. A területek aránya pedig

$\displaystyle \frac{t_{ADE}}{t_{ABC}}=\frac{{1 \over 2}AE\cdot AD\cdot \sin\alpha}{{1 \over 2}AC\cdot AB\cdot \sin\alpha}=\frac{9xy}{8xy}=\frac 98 .$

Az $\displaystyle ADE$ háromszög területe $\displaystyle 112,5\%$-a az $\displaystyle ABC$ háromszög területének.

Statisztika:

117 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	103 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2011. áprilisi matematika feladatai