A C. 1077. feladat (2011. április)

C. 1077. Az ABC háromszögben az AC oldal C-hez közelebbi E negyedelő pontjára és a BC oldal F felező pontjára illeszkedő egyenes az AB egyenest D-ben metszi. Hány százaléka az ADE háromszög területe az ABC háromszög területének?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromszög \(\displaystyle B\) csúcsából húzzunk párhuzamost az \(\displaystyle AC\) oldallal: ez \(\displaystyle G\)-ben metszi \(\displaystyle ED\)-t. \(\displaystyle FBG_\triangle \cong FCE_\triangle\), mert a párhuzamos oldalaik miatt hasonlóak és \(\displaystyle F\) felezőpont miatt \(\displaystyle CF=FB\) (azaz \(\displaystyle F\)-re középpontosan tükrösek), így \(\displaystyle BG=EC=AC/4=x\) (és \(\displaystyle AE=3x\)). \(\displaystyle ADE_\triangle \sim BDG_\triangle\) az egyállású szögeik miatt, így az oldalakra \(\displaystyle \frac{x}{3x}=\frac{GB}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{y}{3y}\), azaz \(\displaystyle AB=2y\). A területek aránya pedig

\(\displaystyle \frac{t_{ADE}}{t_{ABC}}=\frac{{1 \over 2}AE\cdot AD\cdot \sin\alpha}{{1 \over 2}AC\cdot AB\cdot \sin\alpha}=\frac{9xy}{8xy}=\frac 98 .\)

Az \(\displaystyle ADE\) háromszög területe \(\displaystyle 112,5\%\)-a az \(\displaystyle ABC\) háromszög területének.

Statisztika:

117 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	103 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2011. áprilisi matematika feladatai