A C. 1080. feladat (2011. május)

C. 1080. Egy kétmotoros kormányozható léghajó adott benzinkészlettel rendelkezik. Mindkét motort üzembe helyezve, 88 kilométert tesz meg egy óra alatt. Ha csak az első motort használnák, a benzinkészlet 25 órával tovább tartana, de így csak 45 kilométert tennének meg óránként. Ha csak a második motort használnák, a benzinkészlet 16 órával tartana tovább, mint két motorral, és így 72 kilométert tennének meg óránként. Melyik módszerrel jut a legmesszebbre a léghajó?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A léghajó működését úgy képzeljük, hogy ha az első motor üzemanyagfogyasztása \(\displaystyle e\), a másodiké \(\displaystyle m\), akkor a két motort egyszerre használva a fogyasztás \(\displaystyle e+m\).

Ha fogyasztást liter/órában értjük, és két motorral a léghajó \(\displaystyle t>0\) ideig megy, akkor

\(\displaystyle {1\over{t+25}}+{1\over{t+16}}={1\over t}\)

szerint \(\displaystyle t=20\)óra.

Ha a fogyasztást km/órában értjük, akkor

\(\displaystyle {1\over{45(t+25)}}+{1\over{72(t+16)}}={1\over{88t}},\)

ahonnan \(\displaystyle t\approx 9\)óra.

Mindkét esetben csak a második motort használva jutunk a legmesszebbre.

Ha mindkét motor használata esetén az üzemanyagfogyasztás nem függ \(\displaystyle e\)-től és \(\displaystyle m\)-től, akkor hasonlítsuk össze a megtett utakat: \(\displaystyle 45(t+25)=45t+1125<72(t+16)=72t+1152\) mindig és \(\displaystyle 72(t+16)=72t+1152<88t\) pontosan akkor, ha \(\displaystyle t>72\)óra. Tehát (az előzőekkel összhangban) ha két motorral 72 óránál kevesebb ideig tudunk repülni, akkor a második motort kell használni, ellenkező esetben pedig mindkét motort.

Általánosan is megnézhetjük, hogy milyen stratégiát érdemes választani akkor, ha \(\displaystyle a_1\) és \(\displaystyle a_2\) (l/h) üzemanyag-fogyasztások mellett \(\displaystyle v_1\) és \(\displaystyle v_2\) (km/h) sebességgel tudunk haladni, miközben az összes üzemanyag \(\displaystyle V\) (l). A kérdés, mennyi ideig alkalmazzuk az egyes üzemmeneteket. Az egyenletes haladás miatt összesen \(\displaystyle t_1\) ideig az első és \(\displaystyle t_2\) ideig a második üzemmódot használjuk, míg el nem fogy az üzemanyag: \(\displaystyle a_1\cdot t_1 + a_2\cdot t_2 = V\), és ez alatt \(\displaystyle v_1\cdot t_1 + v_2\cdot t_2 = S\) messzire jutunk. Az első összefüggésből \(\displaystyle t_2=\frac{V}{a_2}-\frac{a_1 \cdot t_1}{a_2}\), amit a másodikban alkalmazva \(\displaystyle S=v_1 \cdot t_1 + \frac{v_2 \cdot V}{a_2}-\frac{v_2\cdot a_1}{a_2}t_1=\frac{v_2 \cdot V}{a_2}+\left(v_1-\frac{v_2\cdot a_1}{a_2}\right)t_1\). \(\displaystyle S\) akkor a legnagyobb, amikor \(\displaystyle \left(v_1-\frac{v_2\cdot a_1}{a_2}\right)t_1\) a legnagyobb. Ha \(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}>\frac{a_1}{a_2}\), akkor \(\displaystyle t_1\) maximumánál (azaz \(\displaystyle t_2=0\) esetben) a legnagyobb \(\displaystyle S\), míg ha \(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}<\frac{a_1}{a_2}\) áll fenn, akkor \(\displaystyle t_1=0\) esetben lesz \(\displaystyle S\) maximális. (Egyenlőség esetén nyilván mindegy, melyik üzemmódban vagyunk.)

Tehát a sebesség és üzemanyagfogyasztás aránya határozza meg a nyerő stratégiát: amelyik üzemmódban az arány (\(\displaystyle \lambda\)) a legnagyobb, azt használjuk, a többit pedig egyáltalán nem. A feladat szerint jelöljük az adott benzinkészletet \(\displaystyle V\)-vel, a két motort egyszerre használva pedig összesen \(\displaystyle t\) ideig tudunk repülni. Ekkor két motort használva \(\displaystyle \lambda_{I+II}=\frac{88}{V \over t}=\frac{88t}{V}\), \(\displaystyle \lambda_{I}=\frac{45}{V \over {t+25}}=\frac{45t+1125}{V}\) és \(\displaystyle \lambda_{II}=\frac{72}{V \over {t+16}}=\frac{72t+1152}{V}\). Mivel \(\displaystyle \lambda_I<\lambda_{II}\), ezért csak ez I. motort nem érdemes használni. \(\displaystyle \lambda_{I+II}>\lambda_{II}\) pontosan akkor, ha \(\displaystyle 88t>72t+1152\), azaz \(\displaystyle t>72\).

Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	77 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai