A C. 1081. feladat (2011. május)

C. 1081. Két szabályos sokszöget nevezzünk összetartozónak, ha az egyik belső szögének a kétszerese egyenlő a másik külső szögének a háromszorosával. Határozzuk meg az összetartozó szabályos sokszögpárokat.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyik szabályos sokszög $\displaystyle k$-szög, a másik $\displaystyle n$-szög. Ekkor a $\displaystyle k$-szög belső szöge $\displaystyle \frac{(k-2)\cdot 180^\circ}{k}$, az $\displaystyle n$-szög külső szöge $\displaystyle \frac{360^\circ}{n}$. A két sokszög összetartozó, ha

$\displaystyle \frac{k\cdot 360^\circ-720^\circ}{k}=\frac{1080^\circ}{n}.$

Egyszerűsítve: $\displaystyle 1-\frac 2k=\frac{3}{n}$, ahonnan $\displaystyle n=\frac{3k}{k-2}=3+\frac{6}{k-2}$. Mivel $\displaystyle n\ge 3$ egész, ezért $\displaystyle \frac{6}{k-2}$ nemnegatív egész: $\displaystyle k-2$ a 6 pozitív osztója. Tehát $\displaystyle k-2$ csak 1, 2, 3, 6 lehet, azaz $\displaystyle k$ 3, 4, 5 vagy 8. A hozzá tartozó $\displaystyle n$ értékek pedig 9, 6, 5, 4. Az összetartozó szabályos sokszögpárok: (3, 9), (4, 6), (5, 5) és (8, 4) a feladat szerinti rendezett párokként.

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai