A C. 1081. feladat (2011. május)

C. 1081. Két szabályos sokszöget nevezzünk összetartozónak, ha az egyik belső szögének a kétszerese egyenlő a másik külső szögének a háromszorosával. Határozzuk meg az összetartozó szabályos sokszögpárokat.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyik szabályos sokszög \(\displaystyle k\)-szög, a másik \(\displaystyle n\)-szög. Ekkor a \(\displaystyle k\)-szög belső szöge \(\displaystyle \frac{(k-2)\cdot 180^\circ}{k}\), az \(\displaystyle n\)-szög külső szöge \(\displaystyle \frac{360^\circ}{n}\). A két sokszög összetartozó, ha

\(\displaystyle \frac{k\cdot 360^\circ-720^\circ}{k}=\frac{1080^\circ}{n}.\)

Egyszerűsítve: \(\displaystyle 1-\frac 2k=\frac{3}{n}\), ahonnan \(\displaystyle n=\frac{3k}{k-2}=3+\frac{6}{k-2}\). Mivel \(\displaystyle n\ge 3\) egész, ezért \(\displaystyle \frac{6}{k-2}\) nemnegatív egész: \(\displaystyle k-2\) a 6 pozitív osztója. Tehát \(\displaystyle k-2\) csak 1, 2, 3, 6 lehet, azaz \(\displaystyle k\) 3, 4, 5 vagy 8. A hozzá tartozó \(\displaystyle n\) értékek pedig 9, 6, 5, 4. Az összetartozó szabályos sokszögpárok: (3, 9), (4, 6), (5, 5) és (8, 4) a feladat szerinti rendezett párokként.

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai