A C. 1086. feladat (2011. szeptember)

C. 1086. Egy derékszögű háromszögben a derékszög hosszúságú szögfelezője az átfogót harmadolja. Számoljuk ki az átfogóhoz tartozó magasság hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel egy háromszögben egy szögfelező a szögszáron levő oldalak hosszának arányában osztja a szöggel szemközti oldalt, ezért a derékszögű háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\) és \(\displaystyle \sqrt 5 a\), az átfogóhoz tartozó magasság pedig \(\displaystyle m=\frac{2}{\sqrt 5}a\). A rövidebbik befogó és a szögfelező határolta háromszögben e két oldal bezárt szöge \(\displaystyle 45^\circ\): koszinusz-tételt felírhatjuk \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt 5 }3 a\right)^2=(2\sqrt{10})^2 + a^2 -2 \cdot 2\sqrt{10}\cdot a\cdot \frac{\sqrt 2}2\). Megoldva a \(\displaystyle \frac49 a^2 -4\sqrt5 a +40=0\) egyenletet (\(\displaystyle a=0\) és) \(\displaystyle a=9\sqrt5\). A háromszög átfogójához tartozó magassága tehát \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt 5}\cdot 9\sqrt5=\mathbf{18}\).

Statisztika:

372 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	281 versenyző.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	32 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai