A C. 1086. feladat (2011. szeptember)

C. 1086. Egy derékszögű háromszögben a derékszög hosszúságú szögfelezője az átfogót harmadolja. Számoljuk ki az átfogóhoz tartozó magasság hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel egy háromszögben egy szögfelező a szögszáron levő oldalak hosszának arányában osztja a szöggel szemközti oldalt, ezért a derékszögű háromszög oldalai $\displaystyle a$, $\displaystyle 2a$ és $\displaystyle \sqrt 5 a$, az átfogóhoz tartozó magasság pedig $\displaystyle m=\frac{2}{\sqrt 5}a$. A rövidebbik befogó és a szögfelező határolta háromszögben e két oldal bezárt szöge $\displaystyle 45^\circ$: koszinusz-tételt felírhatjuk $\displaystyle \left(\frac{\sqrt 5 }3 a\right)^2=(2\sqrt{10})^2 + a^2 -2 \cdot 2\sqrt{10}\cdot a\cdot \frac{\sqrt 2}2$. Megoldva a $\displaystyle \frac49 a^2 -4\sqrt5 a +40=0$ egyenletet ($\displaystyle a=0$ és) $\displaystyle a=9\sqrt5$. A háromszög átfogójához tartozó magassága tehát $\displaystyle \frac{2}{\sqrt 5}\cdot 9\sqrt5=\mathbf{18}$.

Statisztika:

372 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	281 versenyző.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	32 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai