A C. 1087. feladat (2011. szeptember)

C. 1087. Egy számtani sorozat első eleme 1, második eleme n, első n elemének összege pedig 33n. Határozzuk meg n értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tudjuk, hogy \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=n\), ebből \(\displaystyle d=a_2-a_1=n-1\).

Mivel ez egy számtani sorozat, így

\(\displaystyle a_n=a_1+(n-1)\cdot d=a_1+(n-1)^2.\)

Mivel

\(\displaystyle 33n=S_n=\frac {a_1+a_n} {2} \cdot n=\frac {a_1+a_1+(n-1)^2} {2} \cdot n,\)

így

\(\displaystyle 33n=\frac {1+1+(n-1)^2} {2} \cdot n,\)

\(\displaystyle 33=\frac {2+(n-1)^2} {2},\)

\(\displaystyle 66=2+(n-1)^2,\)

\(\displaystyle 64=(n-1)^2.\)

Ebből \(\displaystyle n-1=\pm8\). Mivel \(\displaystyle n\) pozitív, ezért csak \(\displaystyle n-1=8\) lehet megoldás, ekkor \(\displaystyle n=9\).

Ez elkenőrizve teljesíti a feltételeket: \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=9\) esetén \(\displaystyle d=8\) és \(\displaystyle S_9=33\cdot9\).

Statisztika:

481 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	357 versenyző.
4 pontot kapott:	85 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai