A C. 1098. feladat (2011. november)

C. 1098. Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex érintőnégyszög két szemközti szöge derékszög, akkor ez a négyszög deltoid.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) csúcsánál legyen a derékszög, továbbá \(\displaystyle AB=a\), \(\displaystyle BC=b\), \(\displaystyle CD=c\) és \(\displaystyle DA=d\). Mivel érintőnégyszög, ezért

\(\displaystyle (1)\qquad a+c=b+d,\)

az \(\displaystyle ABD\) és \(\displaystyle CDB\) derékszögű háromszögekben pedig Pithagorasz tétele szerint

\(\displaystyle (2)\qquad a^2 + d^2 = BD^2= b^2 + c^2.\)

Átrendezve és mindkét oldalának a négyzetét véve

\(\displaystyle (1^*)\qquad a^2 -2ad +d^2 = b^2 -2bc +c^2.\)

\(\displaystyle 2\cdot(2)-(1^*): \quad (a+d)^2=(b+c)^2,\)

ahonnan pozitív számok összegéről lévén szó \(\displaystyle a+d=b+c\). Ezt \(\displaystyle (1)\)-gyel összevetve kapjuk, hogy \(\displaystyle a=b\) és \(\displaystyle c=d\), azaz a négyszög deltoid.

Statisztika:

325 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	196 versenyző.
4 pontot kapott:	67 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	29 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai