A C. 1098. feladat (2011. november)

C. 1098. Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex érintőnégyszög két szemközti szöge derékszög, akkor ez a négyszög deltoid.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle ABCD$ konvex négyszög $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ csúcsánál legyen a derékszög, továbbá $\displaystyle AB=a$, $\displaystyle BC=b$, $\displaystyle CD=c$ és $\displaystyle DA=d$. Mivel érintőnégyszög, ezért

$\displaystyle (1)\qquad a+c=b+d,$

az $\displaystyle ABD$ és $\displaystyle CDB$ derékszögű háromszögekben pedig Pithagorasz tétele szerint

$\displaystyle (2)\qquad a^2 + d^2 = BD^2= b^2 + c^2.$

Átrendezve és mindkét oldalának a négyzetét véve

$\displaystyle (1^*)\qquad a^2 -2ad +d^2 = b^2 -2bc +c^2.$

$\displaystyle 2\cdot(2)-(1^*): \quad (a+d)^2=(b+c)^2,$

ahonnan pozitív számok összegéről lévén szó $\displaystyle a+d=b+c$. Ezt $\displaystyle (1)$-gyel összevetve kapjuk, hogy $\displaystyle a=b$ és $\displaystyle c=d$, azaz a négyszög deltoid.

Statisztika:

325 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	196 versenyző.
4 pontot kapott:	67 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	29 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai