A C. 1099. feladat (2011. november)

C. 1099. Az ABCD négyszögben M az AB, N pedig a CD szakasz felezőpontja. Az AC és BD átlók hossza , és 60^o-os szöget zárnak be. Mekkora az MN szakasz?

Javasolta: Dávid Géza (Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, az $\displaystyle F$ az $\displaystyle AD$ felezőpontja. Az első esetben $\displaystyle FM$ középvonal $\displaystyle ADB$ háromszögben és $\displaystyle FN$ középvonal $\displaystyle ADC$ háromszögben, ezért $\displaystyle FM=FN=\sqrt3$, továbbá bezért szögük $\displaystyle 60^\circ$. Tehát $\displaystyle MFN$ háromszög szabályos, ezért $\displaystyle MN=\sqrt3$.

A második esetben $\displaystyle MFN$ háromszög egyenlőszárú, a szárszöge $\displaystyle 120^\circ$. $\displaystyle MN$ hossza koszinusz-tétellel számolható, vagy az első eset szabályos háromszögének magasságának kétszereseként: $\displaystyle 2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot \sqrt3$, azaz $\displaystyle MN=3$.

Statisztika:

246 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	59 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	103 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	29 versenyző.
0 pontot kapott:	27 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai