 |
A C. 1100. feladat (2011. december) |
C. 1100. Írjunk a táblázat megfelelő mezőibe olyan számokat, amelyek az előre beírtakkal együtt minden sorban és minden oszlopban mértani sorozatok egymást követő elemei lesznek.
(5 pont)
A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az első sorban található mértani sorozat hányadosa \(\displaystyle q\). Egy mértani sorozat három egymást követő elemére mindig teljesül, hogy a két szélső elem mértani közepe a középső elem. Ez alapján kitölthető a táblázat első sora, majd az első oszlop, majd a negyedik sor, végül a negyedik oszlop:
| \(\displaystyle \frac{12}{q^2}\) |
\(\displaystyle \frac{12}{q}\) |
12 |
\(\displaystyle 12q\) |
| 144 |
|
|
\(\displaystyle \frac{9^4 \cdot 12^2 \cdot q^8}{8}\) |
| \(\displaystyle 12^3 \cdot q^2\) |
|
|
81 |
| \(\displaystyle 12^4 \cdot q^4\) |
288 |
\(\displaystyle \frac{4}{q^4}\) |
\(\displaystyle \frac{8}{12^2 \cdot q^8}\) |
|
Az utolsó oszlopban levő mértani sorozat második elemét az oszlopban alatta levő két kifejezésből kaptuk. Ugyanakkor az első három elemre teljesül: \(\displaystyle 12q \cdot 81 = \frac{9^6 \cdot 12^4 \cdot q^{16}}{8^2}\). Átrendezés után \(\displaystyle q=\frac 13\). A táblázat "széle" tehát:
| 108 |
36 |
12 |
4 |
| 144 |
|
|
18 |
| 192 |
|
|
81 |
| 256 |
288 |
324 |
364,5 |
|
A középső négy cella kitöltéséhez legyen a második oszlopbeli mértani sorozat hányadosa \(\displaystyle k\). Ekkor a középső négy cella kitölthető:
| \(\displaystyle 36k\) |
\(\displaystyle \sqrt{36k\cdot 18}\) |
| \(\displaystyle 36k^2\) |
\(\displaystyle 54k\) |
|
ahonnan \(\displaystyle \sqrt{36k\cdot 18}\cdot 324 = 54^2 \cdot k^2\), amit rendezve \(\displaystyle 648k=81k^4\), azaz \(\displaystyle k=2\). Ezt felhasználva a kitöltött táblázat:
| 108 |
36 |
12 |
4 |
| 144 |
72 |
36 |
18 |
| 192 |
144 |
108 |
81 |
| 256 |
288 |
324 |
364,5 |
|
Statisztika:
| 262 dolgozat érkezett. |
| 5 pontot kapott: | 109 versenyző. |
| 4 pontot kapott: | 26 versenyző. |
| 3 pontot kapott: | 11 versenyző. |
| 2 pontot kapott: | 11 versenyző. |
| 1 pontot kapott: | 43 versenyző. |
| 0 pontot kapott: | 41 versenyző. |
| Nem versenyszerű: | 21 dolgozat. |
A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai
