A C. 1104. feladat (2011. december)

C. 1104. Egy hatszög minden szöge 120^o-os, az oldalai pedig váltakozva , illetve hosszúságúak. Igazoljuk, hogy a hatszög területe egész.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Hosszabbítsuk meg a hatszög \(\displaystyle \sqrt{3-\sqrt3}\) hosszúságú oldalait: ezen egyenesek egy szabályos háromszöget határoznak meg, melynek oldalai \(\displaystyle \sqrt{3-\sqrt3}+2\sqrt{9-3\sqrt3}\) hosszúságúak. Ezen háromszög csácsainál egy-egy \(\displaystyle \sqrt{9-3\sqrt3}\) oldalú szabályos háromszöget levágva kapjuk a feladat hatszögét: területet is ez alapján számoljuk ki.

\(\displaystyle t=\sqrt{3-\sqrt3}(1+2\sqrt3)^2 \cdot \frac{ \sqrt3}4-3(\sqrt3\sqrt{3-\sqrt3})^2 \cdot \frac{\sqrt3}{4} = (3-\sqrt3)\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot (13+4\sqrt3 -9)=(3-\sqrt3)(3+\sqrt3)=6.\)

Statisztika:

278 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	121 versenyző.
4 pontot kapott:	82 versenyző.
3 pontot kapott:	49 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai