A C. 1105. feladat (2012. január)

C. 1105. Rajzoltunk két szabályos sokszöget. Az egyiknek pirosra festettük az oldalait és zöldre az átlóit, a másiknak pedig zöldre festettük az oldalait és pirosra az átlóit. A piros szakaszok száma 103, a zöld szakaszoké 80. Hány oldala van a sokszögeknek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A sokszögek oldalszáma legyen \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle m\), akkor az átlók száma \(\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}\) és \(\displaystyle \frac{m(m-3)}{2}\). A piros szakaszok száma \(\displaystyle n+\frac{m(m-3)}{2}=103\), a zöld szakaszok száma \(\displaystyle m+\frac{n(n-3)}{2}=80\). A két egyenlet különbségéből \(\displaystyle n-m+\frac{m^2-n^2+3(n-m)}{2}=23\), ami szorzattá alakítható: \(\displaystyle (m-n)(m+n-5)=46\). Mivel \(\displaystyle m+n>5\), ezért \(\displaystyle m-n>0\); a piros szakaszok hosszából kaphatunk becslést \(\displaystyle m\)-re: \(\displaystyle (m-2)^2<206\), azaz \(\displaystyle m<17\); illetve a zöld szakaszok számából \(\displaystyle n\)-re: \(\displaystyle (n-2)^2<160\), azaz \(\displaystyle n<13\) egészek, ezért \(\displaystyle m+n-5<25\) és \(\displaystyle m-n<14\). 46 szorzattá bontásából \(\displaystyle m+n-5=23\) és \(\displaystyle m-n=2\) lehet. Az egyenletrendszert megoldva \(\displaystyle m=15\) és \(\displaystyle n=13\). Az egyik sokszög 15 oldalú, a másik 13 oldalú.

Statisztika:

301 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	132 versenyző.
4 pontot kapott:	68 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	39 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai