A C. 1105. feladat (2012. január)

C. 1105. Rajzoltunk két szabályos sokszöget. Az egyiknek pirosra festettük az oldalait és zöldre az átlóit, a másiknak pedig zöldre festettük az oldalait és pirosra az átlóit. A piros szakaszok száma 103, a zöld szakaszoké 80. Hány oldala van a sokszögeknek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A sokszögek oldalszáma legyen $\displaystyle n$ és $\displaystyle m$, akkor az átlók száma $\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}$ és $\displaystyle \frac{m(m-3)}{2}$. A piros szakaszok száma $\displaystyle n+\frac{m(m-3)}{2}=103$, a zöld szakaszok száma $\displaystyle m+\frac{n(n-3)}{2}=80$. A két egyenlet különbségéből $\displaystyle n-m+\frac{m^2-n^2+3(n-m)}{2}=23$, ami szorzattá alakítható: $\displaystyle (m-n)(m+n-5)=46$. Mivel $\displaystyle m+n>5$, ezért $\displaystyle m-n>0$; a piros szakaszok hosszából kaphatunk becslést $\displaystyle m$-re: $\displaystyle (m-2)^2<206$, azaz $\displaystyle m<17$; illetve a zöld szakaszok számából $\displaystyle n$-re: $\displaystyle (n-2)^2<160$, azaz $\displaystyle n<13$ egészek, ezért $\displaystyle m+n-5<25$ és $\displaystyle m-n<14$. 46 szorzattá bontásából $\displaystyle m+n-5=23$ és $\displaystyle m-n=2$ lehet. Az egyenletrendszert megoldva $\displaystyle m=15$ és $\displaystyle n=13$. Az egyik sokszög 15 oldalú, a másik 13 oldalú.

Statisztika:

301 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	132 versenyző.
4 pontot kapott:	68 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	39 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai