A C. 1108. feladat (2012. január)

C. 1108. Az ABC derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság CD. Bizonyítsuk be, hogy az ADC és BCD háromszögekbe írt körök területének összege egyenlő az ABC háromszögbe írt kör területével.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle ACD\) háromszög beírt körének sugarát jelölje \(\displaystyle r_A\), a \(\displaystyle BCD\) háromszög beírt körének sugarát \(\displaystyle r_B\), az \(\displaystyle ABC\) háromszögét pedig \(\displaystyle r\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz hasonló mind az \(\displaystyle ADC\), mind a \(\displaystyle BCD\) háromszög: a hasonlóságok arányát felírva rendre kapjuk, hogy \(\displaystyle \frac{r_B}{r}=\frac ac\) és \(\displaystyle \frac{r_A}{r}=\frac bc\). A kisebb körök területének összege

\(\displaystyle r_A^2 \pi + r_B^2 \pi = \frac{a^2 r^2 + b^2 r^2}{c^2}\cdot \pi=r^2 \pi,\)

ahol felhasználtuk Pithagorasz tételét.

Statisztika:

228 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	135 versenyző.
4 pontot kapott:	47 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai