A C. 1110. feladat (2012. február)

C. 1110. András elindul sétálni egy sakktáblaszerű lakótelep egyik háztömbjének sarkától. Sétája során csak az utcasarkokon vált irányt. A háztömbök négyzet alaprajzúak, az oldalaik hossza 15 m, az utak szélessége pedig elhanyagolható. Mutassuk meg, hogy ha András visszaérkezik a kiindulási helyre, akkor a megtett út méterben megadott hossza páros szám lesz.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. András első háztömbnyi sétáját tekintsük "fel" iránynak, ha sarkon fordul, és ellenkező irányba megy, akkor az "le". Ha "fel"-hez képest $\displaystyle 90^\circ$ negatív irányba fordul, akkor "jobbra", ha pozitív irányba fordul, akkor "balra" tart.Ezeket az elenevéseket mindig az első "fel"-hez képest mondjuk: pl. fel, fel, jobbra, balra, le, balra, balra, jobbra, le, jobbra egy lehetséges séta.

Mivel András visszér a kiindulási pontba, ezért egészen biztosan ugyan annyi háztömbnyit ment "fel", mint "le", és ugyanannyit ment "balra", mint "jobbra"., ezért, ha összesen $\displaystyle n$ háztömbnyit ment "fel", és összesen $\displaystyle m$ háztömbnyit "jobbra" ($\displaystyle n$ , $\displaystyle m$ nemnegatív egészek), akkor András összesen $\displaystyle 2(n+m)\cdot 15$-t sétált (méterben kifejezve), ami páros szám.

Statisztika:

310 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	226 versenyző.
4 pontot kapott:	61 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai