A C. 1112. feladat (2012. február)

C. 1112. Az ABC háromszög AB oldalán lévő P ponton át párhuzamosokat húzunk a másik két oldallal, amelyek az AC és BC oldalakat a Q és R pontokban metszik. Hol van a P pont, ha a CQPR négyszög területe maximális?

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Ossza fel a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle AB\) oldalt \(\displaystyle x:1-x\) arányban. \(\displaystyle t_{PRCQ}=t_{ABC}-t_{APQ}-t_{BRP}\). Az \(\displaystyle APQ\) és \(\displaystyle BRP\) háromszögek hasonlóak az eredeti \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz, a hasonlóságok aránya \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle 1-x\): így az eredeti háromszög \(\displaystyle T\) területével kifejezhető a \(\displaystyle CQPR\) paralelogramma területe: \(\displaystyle T-x^2 T - (1-x)^2 T=(2x^2-2x)T=2\left((x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\right)T\). Tehát a \(\displaystyle CQPR\) négyszög területe akkor a legnagyobb, amikor \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja: ekkor a négyszög területe fele a háromszögének.

Statisztika:

221 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	160 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai