A C. 1116. feladat (2012. március)

C. 1116. Egy konvex négyszög minden oldalát osszuk fel nyolc egyenlő részre, majd minden osztópontot kössünk össze az ábra szerint a vele szemközti oldalon levő megfelelő osztóponttal. Az így kapott kis négyszögeket színezzük be sakktáblaszerűen fekete és fehér színűre. Igazoljuk, hogy a fekete négyszögek területének összege megegyezik a fehér négyszögek területének összegével.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy ha egy konvex négyszöget a középvonalaival négy részre osztunk, akkor a két-két átellenes kis négyszögek területösszege megegyezik. Használjuk az ábra jelöléseit ($\displaystyle E$, $\displaystyle F$, $\displaystyle G$ és $\displaystyle H$ oldalfelező pontok).

$\displaystyle EH$ középvonala az $\displaystyle ABD$ háromszögnek, ezért párhuzamos és fel olyan hosszú, mint $\displaystyle BD$ átló, továbbá $\displaystyle AEH$ háromszög területe az $\displaystyle ABD$ háromszög területének negyede. Ugyanezek elmondhatóak $\displaystyle FG$-ről: párhuzamos és fele olyan hosszú, mint $\displaystyle BD$, továbbá $\displaystyle FCG$ háromszög területe a $\displaystyle BCD$ háromszög területének negyede. Ebből következik, hogy $\displaystyle EFGH$ paralelogramma, melyet az $\displaystyle EG$ és $\displaystyle FH$ átlók négy egyenlő területű háromszögre bontanak, továbbá $\displaystyle AEH$ és $\displaystyle FCG$ háromszögek területének összege az $\displaystyle ABCD$ területének negyede. Ugyanez áll a másik "sarkokra" is, azaz $\displaystyle EBF$ és $\displaystyle GDH$ háromszögek területének összege az eredeti konvex négyszög területének negyede. Ez azt is jelenti, hogy $\displaystyle t_{AEOH}+t_{OFCG}=t_{OEBF}+t_{DHOG}=t_{ABCD}/2$.

Ha a feladatbeli csámpás sakktáblát ilyen $\displaystyle 2\times 2$-es részekre osztjuk, akkor ezekben teljesül, hogy a két fehér és a két fekete négyzet területének az összege megegyezik, így a területeket megfelelően összeadva a teljes "sakktábllára" is teljesül.

Statisztika:

133 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Almási Péter, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bodnár Patrícia, Csilling Tamás, Déri Tamás, Farkas Dóra, Gema Barnabás, Gyurcsik Dóra, Halász Ágnes, Holczer András, Kátay Tamás, Katona 100 Bálint, Kecskeméti Enikő, Kószó 94 Eszter, Kozma Luca, Madarasi Adrienn, Márki Gabriella, Mócsy Márk, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Gergely, Nagy Zsuzsika, Nagy-György Pál, Németh Klára Anna, Pacheco Ana Esther, Petrényi Márk, Porupsánszki István, Qian Lívia, Rácz 413 Bence, Samu Viktor, Sipos 320 László, Straubinger Dániel, Szilágyi Krisztina, Szoboszlai László, Tóth 120 Krisztián, Tóth Zsófia, Varga 911 Szabolcs, Vargha Sára, Végh Dávid András, Velkey Géza, Vető Bálint.
4 pontot kapott:	77 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai