A C. 1117. feladat (2012. március)

C. 1117. Egy négyzetrácsos papírra olyan rácstéglalapot (oldalai rácsegyenesek) rajzoltunk, amely n darab kis rácsnégyzetből áll. Igazoljuk, hogy ha a téglalap belsejébe eső rácspontok számához hozzáadjuk a határvonalán található rácspontok számának felét, majd az így kapott számból 1-et elveszünk, akkor n-t kapunk.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a rácstéglalap oldalainak hossza \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) (\(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) pozitív egészek): a téglalap \(\displaystyle a\cdot b=n\) kis rácsnégyzetből áll, a határvonalán található rácspontok száma \(\displaystyle 4+2(a-1)+2(b-1)=2a+2b\), a belsejébe eső pontok száma pedig \(\displaystyle (a-1)(b-1)\). Tehát \(\displaystyle (a-1)(b-1)+\frac{2a+2b}{2}-1\) összeget kell kiszámolnunk, ami \(\displaystyle (ab-a-b+1)+(a+b)-1=ab=n\).

Statisztika:

217 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	172 versenyző.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai