Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1118. feladat (2012. március)

C. 1118. Oldjuk meg a

4x^2 + \frac34 = 2\sqrt x

egyenletet a valós számok halmazán.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Elsőként megjegyezzük, hogy \(\displaystyle x\ge 0\). Az egyenlet mindkét oldalához adjunk \(\displaystyle 4x+\frac{1}{4}\)-et: \(\displaystyle 4x^2+4x+1=4x+2\sqrt x + \frac 14\) egyenlet felírható \(\displaystyle (2x+1)^2=\left (2\sqrt x +\frac 12 \right )^2\) alakba, ahonnan \(\displaystyle |2x+1|=\left |2\sqrt x +\frac 12 \right |\). Mivel \(\displaystyle 2x+1>0\) és \(\displaystyle 2\sqrt x + \frac 12 >0\), ezért az abszolút-érték elhagyható: \(\displaystyle 2x+1=2\sqrt x + \frac 12\). Ez az egyenlet \(\displaystyle \sqrt x\)-re nézve másodfokú, egyetlen megoldása a \(\displaystyle \sqrt x =\frac 12\), ahonnan \(\displaystyle x=\frac14\).

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:112 versenyző.
4 pontot kapott:16 versenyző.
3 pontot kapott:24 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai