A C. 1121. feladat (2012. április)

C. 1121. Bizonyítsuk be, hogy ha n természetes szám, akkor a

összeg értéke egész szám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. . Mivel a 7, a 9 és 16 egymáshoz relatív prímek, azért ez a tört pontosan akkor egész szám, ha a 7, a 9 és a 16 is osztja a számlálóját.

1)

Ez utóbbi szorzat második tényezője egész, így a szorzat osztható 7-tel.

2)

Ezt teljes indukcióval látjuk be. Ha n=1, akkor 7^.25-4⁴=-81 osztható 9-cel. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n=k-ra és írjuk fel n=k+1-re:

25^.(7^.5^2k)-16^.4^2k+2=16^.(7^.5^2k-4^2k+2)+9^.(7^.5^2k).

Az összeg első tagjának második tényezője az indukciós feltevés miatt osztható 9-cel, a második tag is osztható vele, így az összegük is.

3)

Ezt is teljes indukcióval látjuk be. Ha n=1, akkor 3⁴+7^.25=256 osztható 16-tal. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n=k-ra és írjuk fel n=k+1-re:

9^.3^2k+2+25^.7^.5^2k=9^.(3^2k+2+7^.5^2k)+16^.7^.5^2k.

Az összeg első tagjának második tényezője az indukciós feltevés szerint osztható 16-tal; a második tag szintén osztható 16-tal, így az összeg is.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	102 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai