Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1129. feladat (2012. május)

C. 1129. Adjuk meg azt a pontot, amelyből a 2y=x²-2 parabolához húzott érintők érintik a 4y=x²-10x+37 egyenletű parabolát is.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Érintse a keresett P ponton átmenő y=mx+a egyenletű egyenes mindkét parabolát.

Az első parabola: 2y=x²-2. Ezt pontosan akkor érinti az y=mx+a egyenes, ha a 0=x²-2mx-(2a+2) egyenlet diszkriminánsa 0: 4m²+8a+8=0, amiből $a=\frac{-m^2}{2}-1$ .

A második parabola: 4y=x²-10x+37. Most a 0=x²-(10+4m)x+(37-4a) egyenlet diszkriminánsa kell, hogy 0 legyen:

$0=16m^2+80m+16a-48=16m^2+80m+16(\frac{-m^2}{2}-1)-48=8m^2+80m-64.$

Innen $m=-5\pm\sqrt{33}$ .

Most már felírható a két egyenes egyenlete:

$y=(-5+\sqrt{33})x+(-30+5\sqrt{33}),$

$y=(-5-\sqrt{33})x+(-30-5\sqrt{33}).$

Az egyenletrendszer megoldása: x=-5, y=-5. Tehát a keresett P pont koordinátái: P(-5;-5).

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 52 versenyző.

4 pontot kapott: 5 versenyző.

3 pontot kapott: 5 versenyző.

2 pontot kapott: 6 versenyző.

1 pontot kapott: 8 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2012. májusi matematika feladatai

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.