A C. 1130. feladat (2012. szeptember)

C. 1130. Mutassuk meg, hogy a négyzetszámok utolsó két számjegye nem lehet egyszerre páratlan.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy négyzetszám utolsó két számjegyét csak az eredeti szám utolsó két jegye határozza meg:

(10a+b)²=100a²+20ab+b². Itt a 100a² biztosan az utolsó két számjegy előtt van.

20ab=10^.2ab, aminek az utolsó előtti számjegye páros, az utolsó pedig a 0. Ez két páros számjegy. Ehhez adjuk hozzá még a b²-et, ami lehet: 00, 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Mivel mindegyikben szerepel legalább egy páros szám, ezért az utolsó két számjegy közül is legalább az egyik páros lesz. (A maradékátvitel a paritáson nem változtat.)

Statisztika:

481 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	201 versenyző.
4 pontot kapott:	81 versenyző.
3 pontot kapott:	49 versenyző.
2 pontot kapott:	31 versenyző.
1 pontot kapott:	55 versenyző.
0 pontot kapott:	46 versenyző.
Nem versenyszerű:	18 dolgozat.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai