A C. 1136. feladat (2012. október)

C. 1136. Az ABC háromszög magasságpontja M, az AB oldal felezőpontja F, az A csúcsból induló magasság talppontja T. Tudjuk, hogy MF=4, TM=5, TF=6. Szerkesszük meg az ABC háromszöget.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk ábrát, majd az alapján tervezzük meg a szerkesztés lépéseit.

1.) Az $\displaystyle MTF$ háromszög egyértelműen megszerkeszthető a három oldalából.

2.) Húzzuk meg az $\displaystyle M$ és $\displaystyle T$ pontokat összekötő egyenest (jelöljük $\displaystyle e$-vel), ennek eleme az $\displaystyle A$ csúcs.

3.) Az $\displaystyle e$ egyenest tükrözzük az $\displaystyle AB$ oldal $\displaystyle F$ felezőpontjára, a kapott $\displaystyle e'$ egyenes átmegy az $\displaystyle A$ pont $\displaystyle F$-re vonatkozó tükörképén, vagyis $\displaystyle B$-n.

4.) Állítsunk merőlegest a $\displaystyle T$ pontban az $\displaystyle e$ egyenesre (jelölje $\displaystyle f$), ez szintén átmegy a $\displaystyle B$ csúcson.

5.) $\displaystyle e'$ és $\displaystyle f$ metszéspontjaként kapjuk $\displaystyle B$-t.

6.) $\displaystyle B$-t az $\displaystyle F$ pontra tükrözve kapjuk $\displaystyle A$-t.

7.) Tudjuk, hogy a $\displaystyle C$-ből húzott magasság merőleges $\displaystyle AB$-re. Rajzoljuk meg tehát az $\displaystyle MF$ szakasz Thalész-körét.

8.) A kör és az $\displaystyle AB$ szakasz egyik közös pontja $\displaystyle F$, a másik pedig a $\displaystyle C$-ből húzott magasság $\displaystyle S$ talppontja.

9.) Az $\displaystyle SM$ félegyenes és a $\displaystyle BC$ félegyenes metszéspontja $\displaystyle C$.

Ezzel a háromszög mindhárom csúcsát megkaptuk.

Statisztika:

335 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	91 versenyző.
4 pontot kapott:	144 versenyző.
3 pontot kapott:	67 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai