A C. 1136. feladat (2012. október)

C. 1136. Az ABC háromszög magasságpontja M, az AB oldal felezőpontja F, az A csúcsból induló magasság talppontja T. Tudjuk, hogy MF=4, TM=5, TF=6. Szerkesszük meg az ABC háromszöget.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk ábrát, majd az alapján tervezzük meg a szerkesztés lépéseit.

1.) Az \(\displaystyle MTF\) háromszög egyértelműen megszerkeszthető a három oldalából.

2.) Húzzuk meg az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle T\) pontokat összekötő egyenest (jelöljük \(\displaystyle e\)-vel), ennek eleme az \(\displaystyle A\) csúcs.

3.) Az \(\displaystyle e\) egyenest tükrözzük az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontjára, a kapott \(\displaystyle e'\) egyenes átmegy az \(\displaystyle A\) pont \(\displaystyle F\)-re vonatkozó tükörképén, vagyis \(\displaystyle B\)-n.

4.) Állítsunk merőlegest a \(\displaystyle T\) pontban az \(\displaystyle e\) egyenesre (jelölje \(\displaystyle f\)), ez szintén átmegy a \(\displaystyle B\) csúcson.

5.) \(\displaystyle e'\) és \(\displaystyle f\) metszéspontjaként kapjuk \(\displaystyle B\)-t.

6.) \(\displaystyle B\)-t az \(\displaystyle F\) pontra tükrözve kapjuk \(\displaystyle A\)-t.

7.) Tudjuk, hogy a \(\displaystyle C\)-ből húzott magasság merőleges \(\displaystyle AB\)-re. Rajzoljuk meg tehát az \(\displaystyle MF\) szakasz Thalész-körét.

8.) A kör és az \(\displaystyle AB\) szakasz egyik közös pontja \(\displaystyle F\), a másik pedig a \(\displaystyle C\)-ből húzott magasság \(\displaystyle S\) talppontja.

9.) Az \(\displaystyle SM\) félegyenes és a \(\displaystyle BC\) félegyenes metszéspontja \(\displaystyle C\).

Ezzel a háromszög mindhárom csúcsát megkaptuk.

Statisztika:

335 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	91 versenyző.
4 pontot kapott:	144 versenyző.
3 pontot kapott:	67 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai