A C. 1138. feladat (2012. október)

C. 1138. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A gyökjelek alatt nemnegatív számok állnak. Mivel $\displaystyle 4-x(4-x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geq0$, ezért elég, ha az $\displaystyle x\leq4$ feltétel teljesül.

A fentiek alapján az egyenlet így írható:

$\displaystyle |x-2|-\sqrt{4-x}=4.$

I. eset: $\displaystyle 2\leq x\leq4$. Ekkor $\displaystyle |x-2|=x-2$, a kapott egyenletet rendezve:

$\displaystyle x-6=\sqrt{4-x}.$

Mivel a jobb oldal nemnegatív, így a bal oldal sem lehet az, vagyis $\displaystyle x\geq6$, ami ellentmond az $\displaystyle 2\leq x\leq4$ feltételnek.

II. eset: $\displaystyle x<2$. Ekkor $\displaystyle |x-2|=2-x$, az egyenlet rendezve pedig:

$\displaystyle -2-x=\sqrt{4-x}.$

Mivel a jobb oldal nemnegatív, azért $\displaystyle -2-x\geq0$, vagyis $\displaystyle x\leq-2$.

Négyzetre emelve és rendezve:

$\displaystyle x^2+4x+4=4-x,$

$\displaystyle x^2+5x=x(x+5)=0.$

Innen $\displaystyle x_1=0$ és $\displaystyle x_2=-5$. A $\displaystyle 0$ hamis gyök, így az egyetlen megoldás:

$\displaystyle x=-5.$

Statisztika:

453 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	338 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	41 versenyző.
2 pontot kapott:	33 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai