Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1141. feladat (2012. november)

C. 1141. Az n3+3n2+3n utolsó számjegye 4 (n pozitív egész). Mennyi a 4n2+5n+6 utolsó számjegye?

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nézzük meg, hogy \(\displaystyle n\) egy-egy végződése esetén mi lesz a végződése a következő számoknak: \(\displaystyle 3n\), \(\displaystyle n^2\), \(\displaystyle 3n^2\), \(\displaystyle n^3\), végül \(\displaystyle n^3+3n^2+3n\). Ha \(\displaystyle n\) páratlan, akkor \(\displaystyle n^3\), \(\displaystyle 3n^2\) és \(\displaystyle 3n\) és így ezek összege is az. Ezért elég páros \(\displaystyle n\)-ekre vizsgálni.

\(\displaystyle n\): 0 2 4 6 8
\(\displaystyle 3n\): 0 6 2 8 4
\(\displaystyle n^2\): 0 4 6 6 4
\(\displaystyle 3n^2\): 0 2 8 8 2
\(\displaystyle n^3\): 0 8 4 6 2
\(\displaystyle n^3+3n^2+3n\): 0 6 4 2 8

Látható, hogy csak \(\displaystyle n=4\) esetén lesz \(\displaystyle n^3+3n^2+3n\) végződése 4. Ekkor \(\displaystyle 4n^2\) végződése 4, \(\displaystyle 5n\) végződése 0, és így \(\displaystyle 4n^2+5n+6\) utolsó számjegye \(\displaystyle 0\).

Statisztika:

343 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:251 versenyző.
4 pontot kapott:42 versenyző.
3 pontot kapott:26 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai