 |
A C. 1142. feladat (2012. november) |
C. 1142. A P, A, B és Q pontok ebben a sorrendben úgy illeszkednek egy egyenesre, hogy PA=BQ, továbbá a három szakaszból a 36o, 72o, 72o belső szögekkel rendelkező ABC háromszög szerkeszthető. A C középpontú, CP sugarú kör és az AC egyenes C-n túli metszéspontja legyen R. Milyen szögben látszik a PQ szakasz a C, illetve az R pontokból?
(5 pont)
A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Készítsünk ábrát.
Az \(\displaystyle ABC\) háromszög egyenlő szárú, szögei rendre \(\displaystyle 72^{\circ}\), \(\displaystyle 72^{\circ}\) és \(\displaystyle 36^{\circ}\).
Mivel \(\displaystyle CA=AP=BQ=BC\), ezért az \(\displaystyle APC\) háromszög egyenlő szárú, alapon fekvő szögei pedig \(\displaystyle BAC\angle/2=72^{\circ}/2=36^{\circ}\) fokosak. Hasonlóan a \(\displaystyle BQC\) háromszög is egyenlő szárú, alapon fekvő szögei szintén \(\displaystyle 36^{\circ}\) fokosak. A két háromszög egybevágó, így alapjuk is egyenlő: \(\displaystyle PC=QC\). Mivel \(\displaystyle PC=CR\), ezért \(\displaystyle PC=QC=CR\).
Ekkor a \(\displaystyle CQR\) háromszög egyenlő szárú és alapon fekvő szögei \(\displaystyle ACQ\angle/2=36^{\circ}\) fokosak. A \(\displaystyle CPR\) háromszög szintén egyenlő szárú, alapon fekvő szögei \(\displaystyle ACP\angle/2=36^{\circ}/2=18^{\circ}\) fokosak.
A keresett szögek: \(\displaystyle PCQ\angle=36^{\circ}+36^{\circ}+36^{\circ}=108^{\circ}\), \(\displaystyle PRQ\angle=18^{\circ}+36^{\circ}=54^{\circ}\).
Statisztika:
301 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 173 versenyző. 4 pontot kapott: 50 versenyző. 3 pontot kapott: 37 versenyző. 2 pontot kapott: 18 versenyző. 1 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai