![]() |
A C. 1142. feladat (2012. november) |
C. 1142. A P, A, B és Q pontok ebben a sorrendben úgy illeszkednek egy egyenesre, hogy PA=BQ, továbbá a három szakaszból a 36o, 72o, 72o belső szögekkel rendelkező ABC háromszög szerkeszthető. A C középpontú, CP sugarú kör és az AC egyenes C-n túli metszéspontja legyen R. Milyen szögben látszik a PQ szakasz a C, illetve az R pontokból?
(5 pont)
A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Készítsünk ábrát.
Az ABC háromszög egyenlő szárú, szögei rendre 72∘, 72∘ és 36∘.
Mivel CA=AP=BQ=BC, ezért az APC háromszög egyenlő szárú, alapon fekvő szögei pedig BAC∠/2=72∘/2=36∘ fokosak. Hasonlóan a BQC háromszög is egyenlő szárú, alapon fekvő szögei szintén 36∘ fokosak. A két háromszög egybevágó, így alapjuk is egyenlő: PC=QC. Mivel PC=CR, ezért PC=QC=CR.
Ekkor a CQR háromszög egyenlő szárú és alapon fekvő szögei ACQ∠/2=36∘ fokosak. A CPR háromszög szintén egyenlő szárú, alapon fekvő szögei ACP∠/2=36∘/2=18∘ fokosak.
A keresett szögek: PCQ∠=36∘+36∘+36∘=108∘, PRQ∠=18∘+36∘=54∘.
Statisztika:
301 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 173 versenyző. 4 pontot kapott: 50 versenyző. 3 pontot kapott: 37 versenyző. 2 pontot kapott: 18 versenyző. 1 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai
|