A C. 1151. feladat (2013. január)

C. 1151. Az ABCD konvex négyszög egy tetszőleges belső P pontját kössük össze rendre a négyszög AB, BC, CD, DA oldalának E, F, G, H felezőpontjával. Igazolandó, hogy az AEPH és CGPF (esetleg elfajuló) négyszögek területének összege egyenlő a BFPE és DHPG (esetleg szintén elfajuló) négyszögek területének összegével.

Javasolta: Gyimesi Róbert (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A $\displaystyle P$ pontot kössük össze a négyszög csúcsaival és az oldalak felezőpontjával. Ekkor nyolc háromszöget kapunk. Mivel az $\displaystyle ABP$, a $\displaystyle BCP$, a $\displaystyle CDP$ és a $\displaystyle DAP$ háromszögben $\displaystyle PE$, $\displaystyle PF$, $\displaystyle PG$ és $\displaystyle PH$ súlyvonalak, ezért két-két megfelelő háromszög területe egyenlő.

Ezt felhasználva:

$\displaystyle t_{AEPH}+t_{CGPF}=(t_1+t_4)+(t_3+t_2)=(t_2+t_1)+(t_4+t_3)=t_{BFPE}+t_{DHPG}.$

Statisztika:

222 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	154 versenyző.
4 pontot kapott:	43 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. januári matematika feladatai