A C. 1153. feladat (2013. január)

C. 1153. Egy egységnyi átlójú négyzetet egyik átlója mentén elvágunk, majd a másik átló egyenese mentén a két részt egymás felé toljuk. Legfeljebb mekkora területű közös rész jöhet létre?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy egységnyi átlójú négyzet területe 1/2. Az $\displaystyle ABCD$ négyzetet a $\displaystyle BD$ átlója mentén kettévágva, az $\displaystyle ABD$ háromszöget az $\displaystyle A'B'D'$ háromszögbe toljuk el. Jelölje a $\displaystyle DE$ szakasz hosszát $\displaystyle y>0$. Ha $\displaystyle y=DC/2$, akkor a közös rész pont a négyzet negyede, vagyis területe $\displaystyle 1/8$. Ha még tovább toljuk a háromszöget, vagyis $\displaystyle y>DC/2$, akkor a közös rész területe ennél kisebb lesz. Legyen $\displaystyle y<DC/2$.

Az eltolás miatt ekkor $\displaystyle HB'=DE=y$. Mivel a $\displaystyle DEF$ és a $\displaystyle HB'J$ háromszögek derékszögűek, és két másik szögük $\displaystyle 45^{\circ}$-os, ezért egyenlő szárúak, és így $\displaystyle EF=HJ=y$. A szimmetria miatt ekkor $\displaystyle EI=HJ=y$. Az $\displaystyle AC$-re való szimmetria miatt ekkor $\displaystyle EI=HJ=y$ és $\displaystyle GH=FE=y$.

Legyen az $\displaystyle A'F$ szakasz hossza $\displaystyle x$. Ekkor a fentiekhez hasonlóan $\displaystyle A'G=x$ is teljesül. Vagyis $\displaystyle A'B'=x+y+y=x+2y$. Mivel $\displaystyle A'B'=DC$, így $\displaystyle DC=x+2y$, amiből $\displaystyle IC=x$.

Most már felírhatjuk a kérdéses területet. Ehhez felhasználjuk, hogy a négyzet oldalának hossza $\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}=x+2y$, amiből $\displaystyle y=\frac{\sqrt2}{4}-\frac x2$.

$\displaystyle t=t_{BCD}-t_{IJC}-2\cdot t_{DEF}=\frac14-\frac{x^2}{2}-2\cdot\frac{y^2}{2}=$

$\displaystyle =\frac14-\frac{x^2}{2}-\left(\frac{\sqrt2}{4}-\frac x2\right)^2=-\frac34x^2+\frac{\sqrt2}{4}x+\frac18=$

$\displaystyle =-\frac34\left(\left(x-\frac{\sqrt2}{6}\right)^2-\frac{8}{36}\right).$

Tehát a terület $\displaystyle x=\frac{\sqrt2}{6}$ esetén lesz a legnagyobb, értéke ekkor $\displaystyle -\frac34\cdot\left(-\frac{8}{36}\right)=\frac16$.

Statisztika:

178 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	92 versenyző.
4 pontot kapott:	29 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. januári matematika feladatai