A C. 1154. feladat (2013. január)

C. 1154. Van-e olyan számtani sorozat, amelyben az első n tag összege n, az első 2n tag összege n² és az első 3n tag összege n³?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A sorozat első elemét jelölje $\displaystyle a_1$, a differenciát pedig $\displaystyle d$. Ekkor:

$\displaystyle s_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n=n,$

$\displaystyle s_{2n}=\frac{2a_1+(2n-1)d}{2}\cdot 2n=n^2,$

$\displaystyle s_{3n}=\frac{2a_1+(3n-1)d}{2}\cdot 3n=n^3.$

Az első egyenletből:

a másodikból:

a harmadikból:

2)-ből kivonva 1)-et:

$\displaystyle \frac n2-1=\frac n2\cdot d,$

$\displaystyle n-2=nd.$

3)-ból 1)-et kivonva:

$\displaystyle \frac{n^2}{3}-1=nd.$

A két kapott egyenlet jobb bal oldala egyenlő, így a bal oldaluk is az:

$\displaystyle \frac{n^2}{3}-1=n-2,$

$\displaystyle \frac{n^2}{3}-n+1=0,$

$\displaystyle n^2-3n+3=0.$

Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negatív, így nincs megoldása.

Statisztika:

202 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	127 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	27 versenyző.

A KöMaL 2013. januári matematika feladatai