 |
A C. 1158. feladat (2013. február) |
C. 1158. Egy deltoid alakú telek három belső szöge 80o-os. Milyen hosszú kerítéssel lehet a 900 m2 területű telket teljesen bekeríteni?
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha behúzzuk azt az átlót, amelyik nem a szimmetriatengelyen van, akkor a telekből levágunk egy olyan egyenlő szárú háromszöget, malynek a szárszöge \(\displaystyle 80^{\circ}\)-os, így alapon fekvő szögei \(\displaystyle 50^{\circ}\)-osak; és egy olyat, aminek szárszöge \(\displaystyle 120^{\circ}\), alapon fekvő szögei pedig \(\displaystyle 30^{\circ}\) fokosak.
Fejezzük ki a telek területét \(\displaystyle x\) segítségével. Az \(\displaystyle AC\) átló hosszát jelölje \(\displaystyle e\). Az \(\displaystyle ECD\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle \cos30^{\circ}=\frac{e/2}{x}\), amiből \(\displaystyle e=x\sqrt3\).
Az \(\displaystyle EBC\) derékszögű háromszögből \(\displaystyle \cos50^{\circ}=\frac{e/2}{y}\), és így \(\displaystyle y=\frac{x\sqrt3}{2\cos50^{\circ}}\).
\(\displaystyle t_{ACD}=\frac12x^2\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt3}{4}x^2.\)
\(\displaystyle t_{ABC}=\frac12ey\sin50^{\circ}=\frac12x\sqrt3\cdot\frac{x\sqrt3}{2\cos50^{\circ}}\sin50^{\circ}=\frac34x^2\rm{tg}50^{\circ}.\)
Tehát \(\displaystyle 900=x^2\left(\frac{\sqrt3}{4}+\frac34\rm{tg}50^{\circ}\right)\), amiből
\(\displaystyle x=\sqrt{\frac{900}{\frac{\sqrt3}{4}+\frac34\rm{tg}50^{\circ}}}\approx26,0444.\)
Ebből \(\displaystyle y\approx35,0895\) és \(\displaystyle k=2x+2y\approx122,2678\). Tehát körülbelül 122,27 méter hosszú kerítés szükséges a telek bekerítéséhez.
Statisztika:
188 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 120 versenyző. 4 pontot kapott: 11 versenyző. 3 pontot kapott: 33 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 16 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2013. februári matematika feladatai