A C. 1159. feladat (2013. február)

C. 1159. Képzeljük el az összes, egymással nem egybevágó téglalapot, amelyeknek oldalhosszait az számhalmazból választott két, különböző egész szám ad. Határozzuk meg ezen téglalapok területösszegét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladatot tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egész esetére oldjuk meg. A területösszegben az 1, 2, ..., \(\displaystyle n\) számok egymással vett szorzatai szerepelnek, kivéve a négyzetszámokat. Vagyis a keresett összeg:

\(\displaystyle \frac{(1+2+\dots+n)^2-(1^2+2^2+\dots+n^2)}{2}=\frac12\cdot\left(\left(\frac{(n+1)n}{2}\right)^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{(n+1)^2n^2}{8}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}.\)

Ha \(\displaystyle n\) helyébe behelyettesítjük a 100-at, akkor az eredmény: 12582075.

Statisztika:

164 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	75 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai