 |
A C. 1160. feladat (2013. március) |
C. 1160. Mennyi a maradék, ha a 20122013+20132012 összeget elosztjuk 2012.2013-mal?
Javasolta: Fülöp Dóra (Pécs)
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Vizsgáljuk a következő törtet:
\(\displaystyle t=\frac{2012^{2013}+2013^{2012}}{2012\cdot2013}=\frac{2012^{2012}}{2013}+\frac{2013^{2011}}{2012}.\)
Használjuk fel a következőket:
\(\displaystyle 2012^{2012}=(2013-1)^{2012}=2013^{2012}-2012\cdot2013^{2011}+\binom{2012}{2}\cdot2013^{2010}-...-\binom{2012}{2011}\cdot2013+\binom{2012}{2012}\cdot1=\)
\(\displaystyle =2013a+1,~{\rm{ahol}}~a\in \Bbb N^+;\)
\(\displaystyle 2013^{2011}=(2012+1)^{2011}=2012^{2011}+2011\cdot2012^{2010}+\binom{2011}{2}\cdot2012^{2009}+...+\binom{2011}{2010}\cdot2012+\binom{2011}{2011}\cdot1=\)
\(\displaystyle =2012b+1,~{\rm{ahol}}~b\in \Bbb N^+.\)
Ezekből
\(\displaystyle t=\frac{2013a+1}{2013}+\frac{2012b+1}{2012}=a+\frac{1}{2013}+b+\frac{1}{2012}=a+b+\frac{2012+2013}{2012\cdot2013}=a+b+\frac{4025}{2012\cdot2013}.\)
Vagyis a keresett maradék 4025.
Statisztika:
157 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 52 versenyző. 4 pontot kapott: 18 versenyző. 3 pontot kapott: 37 versenyző. 2 pontot kapott: 18 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 20 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai