A C. 1160. feladat (2013. március)

C. 1160. Mennyi a maradék, ha a 2012²⁰¹³+2013²⁰¹² összeget elosztjuk 2012^.2013-mal?

Javasolta: Fülöp Dóra (Pécs)

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk a következő törtet:

$\displaystyle t=\frac{2012^{2013}+2013^{2012}}{2012\cdot2013}=\frac{2012^{2012}}{2013}+\frac{2013^{2011}}{2012}.$

Használjuk fel a következőket:

$\displaystyle 2012^{2012}=(2013-1)^{2012}=2013^{2012}-2012\cdot2013^{2011}+\binom{2012}{2}\cdot2013^{2010}-...-\binom{2012}{2011}\cdot2013+\binom{2012}{2012}\cdot1=$

$\displaystyle =2013a+1,~{\rm{ahol}}~a\in \Bbb N^+;$

$\displaystyle 2013^{2011}=(2012+1)^{2011}=2012^{2011}+2011\cdot2012^{2010}+\binom{2011}{2}\cdot2012^{2009}+...+\binom{2011}{2010}\cdot2012+\binom{2011}{2011}\cdot1=$

$\displaystyle =2012b+1,~{\rm{ahol}}~b\in \Bbb N^+.$

Ezekből

$\displaystyle t=\frac{2013a+1}{2013}+\frac{2012b+1}{2012}=a+\frac{1}{2013}+b+\frac{1}{2012}=a+b+\frac{2012+2013}{2012\cdot2013}=a+b+\frac{4025}{2012\cdot2013}.$

Vagyis a keresett maradék 4025.

Statisztika:

157 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	37 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai