A C. 1166. feladat (2013. április)

C. 1166. Melyik az a p prím, mely néggyel nagyobb az n egész szám négyzeténél és kétszerese eggyel kisebb az n köbénél?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tudjuk, hogy $\displaystyle p=n^2+4$ és $\displaystyle 2p=n^3-1$. Az első egyenlet kétszeresét a második egyenletből kivonva kapjuk, hogy $\displaystyle 0=n^3-1-(2n^2+8)$, amiből $\displaystyle 0=n^3-2n^2-9=(n-3)(n^2+n+3)$ következik. Mivel az $\displaystyle n^2+n+3=0$ egyenlet diszkriminánsa negatív, ezért az egyetlen megoldás $\displaystyle n=3$. Ebből $\displaystyle p=3^2+4=13$, ami valóban prím.

Statisztika:

184 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	82 versenyző.
4 pontot kapott:	50 versenyző.
3 pontot kapott:	24 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2013. áprilisi matematika feladatai