A C. 1167. feladat (2013. április)

C. 1167. Az ABC háromszög AA₁, BB₁, CC₁ szögfelező szakaszainak végpontján át húzzunk párhuzamosokat a szöget alkotó két oldalegyenessel. Igazoljuk, hogy az így kapott hat egyenes háromszögbe eső szakaszhosszainak összege nem lehet nagyobb a háromszög kerületénél.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a $\displaystyle C_1$-en át húzott párhuzamosok és az oldalak metszéspontját $\displaystyle B_C$, illetve $\displaystyle A_C$, a másik négy metszéspontot is értelemszerűen $\displaystyle A_B$, $\displaystyle C_B$, $\displaystyle B_A$ és $\displaystyle C_A$.

Tekintsük először a $\displaystyle C_1A_C$ és $\displaystyle C_1B_C$ szakaszokat.

Mivel $\displaystyle C_1B_C||BC$, azért az $\displaystyle AC_1B_C\triangle\sim ABC\triangle$, és így $\displaystyle \frac{C_1B_C}{BC}=\frac{AC_1}{AB}$, amiből

A szögfelező-tétel szerint $\displaystyle \frac{C_1B}{C_1A}=\frac{BC}{AC}$. Mindkét oldalhoz 1-et adva: $\displaystyle \frac{C_1B+C_1A}{C_1A}=\frac{BC+AC}{AC}$, vagyis $\displaystyle \frac{AB}{C_1A}=\frac{BC+AC}{AC}$, amiből $\displaystyle C_1A=\frac{AB\cdot AC}{AC+BC}$. Ezt (1)-be beírva:

$\displaystyle C_1B_C=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{AB(AC+BC)}=\frac{AC\cdot BC}{AC+BC}.$

Hasonlóan $\displaystyle C_1A_C=\frac{AC\cdot BC}{AC+BC}$.

Ugyanígy $\displaystyle B_1A_B=B_1C_B=\frac{AB\cdot BC}{AB+BC}$ és $\displaystyle A_1B_A=A_1C_A=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}$.

Így a szakaszok összegét a számtani és a harmonikus közepek közötti egyenlőtlenség felhasználásával becsülhetjük:

$\displaystyle C_1B_C+C_1A_C+B_1A_B+B_1C_B+A_1B_A+A_1C_A=\frac{2AC\cdot BC}{AC+BC}+\frac{2AB\cdot BC}{AB+BC}+\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}=$

$\displaystyle =\frac{2}{\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}}+\frac{2}{\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}}+\frac{2}{\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}}\leq \frac{AC+BC}{2}+\frac{AB+BC}{2}+\frac{AB+AC}{2}=AB+BC+AC,$

amit bizonyítani kellett. (Egyenlőség szabályos háromszög esetén jön létre.)

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2013. áprilisi matematika feladatai