A C. 1176. feladat (2013. szeptember)

C. 1176. Az a, b, c, d, e öt növekedő sorrendben felsorolt, egymást követő egész szám. Egy téglatest éleinek mérőszáma: a, b, c. Milyen értékek esetén fordulhat elő, hogy a téglatest testátlója egy derékszögű háromszög átfogója lesz, a d és az e pedig a befogók hossza?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egymást követő öt egész szám legyen \(\displaystyle n-2\), \(\displaystyle n-1\), \(\displaystyle n\), \(\displaystyle n+1\) és \(\displaystyle n+2\). A téglatest testátlójának mérőszáma: \(\displaystyle \sqrt{(n-2)^2+(n-1)^2+n^2}=\sqrt{3n^2-6n+5}\). A szöveg szerint teljesülni kellene, hogy \(\displaystyle 3n^2-6n+5=(n+1)^2+(n+2)^2=2n^2+6n+5\), amiből \(\displaystyle n^2-12n=0\). Ennek az egyenletnek az \(\displaystyle n=0\) és az \(\displaystyle n=12\) a két gyöke, de a feladat feltételeinek csak az \(\displaystyle n=12\) felel meg. A keresett számok: 10, 11, 12, 13, 14.

Statisztika:

215 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	142 versenyző.
4 pontot kapott:	43 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai