 |
A C. 1181. feladat (2013. szeptember) |
C. 1181. Igazoljuk, hogy tetszőleges 
szögre (sin +1)(cos +1)<3.
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle (\sin x+1)( \cos x +1)=\sin x\cos x +\sin x+\cos x+1\), ami pontosan akkor kisebb 3-nál, ha \(\displaystyle \sin x\cos x +\sin x+\cos x<2\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle \sin x\cos x=\frac12\sin2x\leq\frac12\cdot1=\frac12\). Azt is tudjuk, hogy \(\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{2}\leq\frac{|\sin x|+|\cos x|}{2}\leq\sqrt{\frac{|\sin x|^2+|\cos x|^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt2}\). Ezek alapján \(\displaystyle \sin x\cos x +\sin x+\cos x\leq\frac12+\frac{2}{\sqrt2}\approx1,91<2\).
Statisztika:
114 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bálint Karola, Balogh Sebestyén, Belényesi Máté, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Csikós Endre, Denke Dorottya, Dombrovszky Borbála, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Ficsor Enikő, Gnandt Balázs, Hári Krisztina, Hegel Patrik, Hegyesi János Géza, Jójárt Alexandra, Juhász Gellért, Kácsor Szabolcs, Kovács 628 Márton, Kovács 972 Márton, Krisztián Jonatán, Máté Bálint, Németh Klára Anna, Nguyen Anh Tuan, Nyíri Tamás, Orbán Szandra, Pammer Tamás, Paulovics Zoltán, Porupsánszki István, Putti Krisztián, Qian Lívia, Rápolti Kitti, Szabó 524 Tímea, Szerző Ágoston, Sziegl Benedek, Szőke Tamás, Szűcs Dorina, Tari Balázs, Urbán Norbert, Vu Lien Viola, Zsiros Ádám. 4 pontot kapott: 18 versenyző. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 23 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai