 |
A C. 1184. feladat (2013. október) |
C. 1184. Igazoljuk, hogy 52013.21008+31008.22013 osztható 19-cel.
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy lehetséges átalakítás:
\(\displaystyle 5^{2013}\cdot2^{1008}+3^{1008}\cdot2^{2013}=5\cdot2^{2}\cdot5^{2012}\cdot2^{1006}+3^{2}\cdot2\cdot3^{1006}\cdot2^{2012}=\)
\(\displaystyle =20\cdot50^{1006}+18\cdot12^{1006}=19\cdot50^{1006}+19\cdot12^{1006}+50^{1006}-12^{1006}.\)
Az összeg első két tagja osztható 19-cel. Tudjuk, hogy \(\displaystyle 50^{1006}-12^{1006}\) osztható \(\displaystyle (50-12)\)-vel, azaz \(\displaystyle 2\cdot19\)-cel. Ezzel az állítást igazoltuk.
Statisztika:
216 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 147 versenyző. 4 pontot kapott: 19 versenyző. 3 pontot kapott: 19 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 16 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai