A C. 1184. feladat (2013. október)

C. 1184. Igazoljuk, hogy 5^2013.2¹⁰⁰⁸+3^1008.2²⁰¹³ osztható 19-cel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy lehetséges átalakítás:

$\displaystyle 5^{2013}\cdot2^{1008}+3^{1008}\cdot2^{2013}=5\cdot2^{2}\cdot5^{2012}\cdot2^{1006}+3^{2}\cdot2\cdot3^{1006}\cdot2^{2012}=$

$\displaystyle =20\cdot50^{1006}+18\cdot12^{1006}=19\cdot50^{1006}+19\cdot12^{1006}+50^{1006}-12^{1006}.$

Az összeg első két tagja osztható 19-cel. Tudjuk, hogy $\displaystyle 50^{1006}-12^{1006}$ osztható $\displaystyle (50-12)$-vel, azaz $\displaystyle 2\cdot19$-cel. Ezzel az állítást igazoltuk.

Statisztika:

216 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	147 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai