Problem C. 1185. (October 2013)
C. 1185. Determine the value of n such that .
(5 pont)
Deadline expired on November 11, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás.
\(\displaystyle 1+1^2+2+2^2+3+3^2+\ldots+n+n^2=(1+2+3+\dots+n)+(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)=\)
\(\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\)
\(\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}\left(1+\frac{2n+1}{3}\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=2280,\)
\(\displaystyle n(n+1)(n+2)=6840=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot19.\)
A 19 prímszám, \(\displaystyle 2\cdot3^2=18\) és \(\displaystyle 2^2\cdot5=20\), így a megoldás \(\displaystyle n=18\).
Próbálkozással is célhoz érünk: Mivel ez három egymást követő szám szorzata, és 6840 köbgyöke majdnem 19, ezért próbáljuk ki az \(\displaystyle n=18\)-at: \(\displaystyle 18\cdot19\cdot20=6840\), vagyis \(\displaystyle n=18\) megoldás. Ha \(\displaystyle n\) értékét növeljük, illetve csökkentjük, akkor a szorzat értéke is nő, illetve csökken - az egyetlen megoldás az \(\displaystyle n=18\).
Statistics:
312 students sent a solution. 5 points: 151 students. 4 points: 73 students. 3 points: 63 students. 2 points: 9 students. 1 point: 6 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013