A C. 1185. feladat (2013. október)

C. 1185. Határozzuk meg n értékét, ha

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás.

\(\displaystyle 1+1^2+2+2^2+3+3^2+\ldots+n+n^2=(1+2+3+\dots+n)+(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)=\)

\(\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\)

\(\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}\left(1+\frac{2n+1}{3}\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=2280,\)

\(\displaystyle n(n+1)(n+2)=6840=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot19.\)

A 19 prímszám, \(\displaystyle 2\cdot3^2=18\) és \(\displaystyle 2^2\cdot5=20\), így a megoldás \(\displaystyle n=18\).

Próbálkozással is célhoz érünk: Mivel ez három egymást követő szám szorzata, és 6840 köbgyöke majdnem 19, ezért próbáljuk ki az \(\displaystyle n=18\)-at: \(\displaystyle 18\cdot19\cdot20=6840\), vagyis \(\displaystyle n=18\) megoldás. Ha \(\displaystyle n\) értékét növeljük, illetve csökkentjük, akkor a szorzat értéke is nő, illetve csökken - az egyetlen megoldás az \(\displaystyle n=18\).

Statisztika:

312 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	151 versenyző.
4 pontot kapott:	73 versenyző.
3 pontot kapott:	63 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai