A C. 1188. feladat (2013. október)

C. 1188. Egy körcikket kúp alakú süveggé formálunk. Mekkora a körcikk középponti szöge, ha a süveg magassága a körcikk sugarának négyötöde?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a kúp alkotóját \(\displaystyle a\), alapkörének sugarát \(\displaystyle r\), a körcikk középponti szögét pedig \(\displaystyle \varphi\). Tudjuk, hogy a kúp magassága \(\displaystyle \frac45a\). A kúp alkotójára, magasságára és sugarára felírható Pitagorasz tétele:

\(\displaystyle a^2=r^2+\left(\frac45a\right)^2,\)

amiből \(\displaystyle r=\frac35a\).

A kúppalást területe \(\displaystyle \pi ra\), a körcikk területe \(\displaystyle \frac{\varphi}{2\pi}\cdot a^2\pi=\varphi\cdot\frac{a^2}{2}\). A kettő egyenlő, vagyis

\(\displaystyle \pi ra=\varphi\cdot\frac{a^2}{2},\)

amiből

\(\displaystyle \varphi=\frac{2\pi ra}{a^2}=\frac{2\pi\cdot\frac35a}{a}=\frac65\pi.\)

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	72 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai